(a) lim x 0 sen(2 x)2 x
(e) lim x 0 x+x cos xsen x cos x
(b) lim x 0 sen(a x)x, a constante.
(f) lim x 0 sen xsen(2 x)
© lim x 0 1-cos xsen(2 x)
(g) lim x 0 tg(3 x)sen(8 x)

Passo 1

Vamos calcular vários limites quando x tende a zero usando o limite fundamental limuto0sin uu=1 e as formas equivalentes de sin u e 1-cos u próximas de zero.

Passo 2

Para (a) usamos u=2x. Temos
limxto0sin(2x)2x=limuto0sin uu=1

Passo 3

Para (b) colocamos u= ax. Então
limxto0sin(ax)x=limxto0sin(ax)axcdot a=1cdot a=a

Passo 4

Para © usamos as expansões de pequeno ângulo ou identidades:
1-cos x=2sin^2l(tfrac x2r), sin(2x)=2sin xcos x
Logo
1-cos xsin(2x)=2sin^2(tfrac x2)2sin xcos x=sin^2(tfrac x2)sin xcos x
Mas sin x=2sin(tfrac x2)cos(tfrac x2), de modo que
sin^2(tfrac x2)2sin(tfrac x2)cos(tfrac x2),cos x=sin(tfrac x2)2cos(tfrac x2)cos xto0

Passo 5

Para (e) fatoramos o numerador:
x+xcos x=x(1+cos x),
então
x(1+cos x)sin xcos x=xsin xcdot1+cos xcos xto1cdot1+11=2

Passo 6

Para (f) escrevemos
sin xsin(2x)=sin x2sin xcos x=12cos xto12

Passo 7

Para (g) usamos tan(3x)=sin(3x)cos(3x) e aproximações lineares:
tan(3x)sin(8x)=sin(3x)cos(3x)sin(8x)=sin(3x)/(3x)sin(8x)/(8x)cdot3x8xcdot1cos(3x)to1cdot1cdot38cdot1=38

Resposta

a) 1, b) a, c) 0, e) 2, f) 1/2, g) 3/8

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