Seja f(x, y)=y^4-8 y^2+2 x^3-6 x+1. Encontre:
(b) a derivada direcional de f no ponto P=(-1,1) na direção do vetor v=(3,-4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = y^4 - 8y^2 + 2x^3 - 6x + 1 $ no ponto $ P = (-1, 1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = (3, -4) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente de $ f $ no ponto $ P = (-1, 1) $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais e indica a direção de maior aumento da função.
Calculando as derivadas no ponto $ P $:
f
P = (-1, 1)
Então, o gradiente em $ P $ é:
P

Passo 4

A seguir, precisamos normalizar o vetor $ \vec{v} = (3, -4) $ para que ele tenha comprimento 1, transformando-o em um vetor unitário. Isso é importante porque a derivada direcional usa um vetor de direção unitário.
O comprimento de $ \vec{v} $ é:
v = (3, -4)
Então, o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} $ é:
v

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional de $ f $ no ponto $ P $ na direção de $ \vec{v} $ é o produto escalar entre o gradiente em $ P $ e o vetor unitário $ \vec{u} $:
f

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P = (-1, 1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = (3, -4) $ é $ \frac{48}{5} $.

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