Seja
. Encontre:
(b) a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
(b) a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = y^4 - 8y^2 + 2x^3 - 6x + 1 $ no ponto $ P = (-1, 1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = (3, -4) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente de $ f $ no ponto $ P = (-1, 1) $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais e indica a direção de maior aumento da função.
Calculando as derivadas no ponto $ P $:
Então, o gradiente em $ P $ é:
Passo 4
A seguir, precisamos normalizar o vetor $ \vec{v} = (3, -4) $ para que ele tenha comprimento 1, transformando-o em um vetor unitário. Isso é importante porque a derivada direcional usa um vetor de direção unitário.
O comprimento de $ \vec{v} $ é:
Então, o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} $ é:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional de $ f $ no ponto $ P $ na direção de $ \vec{v} $ é o produto escalar entre o gradiente em $ P $ e o vetor unitário $ \vec{u} $:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P = (-1, 1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = (3, -4) $ é $ \frac{48}{5} $.