Escrever, na forma de uma soma de integrais iteradas duplas, a integral I=integral triplaT d V, onde T é a região interior à esfera x^2+y^2+z^2=1 e exterior ao cone z^2=x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente escreva a integral tripla em termos de uma soma de integrais duplas iteradas. A região é o espaço dentro da esfera e fora do cone . Vamos utilizar coordenadas cilíndricas para facilitar a visualização e o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A esfera é uma esfera de raio 1 centrada na origem. O cone tem um ângulo de abertura de 45 graus. A região está dentro da esfera e fora do cone, ou seja, é como uma “casca” esférica cortada pelo cone.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Determinar os limites de integração:
  • varia de a (completando a volta ao redor do eixo z).
  • Para cada , varia de até onde o cone e a esfera se encontram. Do cone e da esfera . Então, varia de até (ponto de interseção).
  • Para , varia do cone até a esfera .

Passo 5

Agora, escrevemos a integral tripla como uma soma de integrais duplas iteradas:
I = integral0^2pi integral0^1raiz2 integralr^raiz1 - r^2 r, dz, dr, dtheta

Resposta

A integral I = integral0^2pi integral0^1raiz2 ( integralr^raiz1 - r^2 r, dz ) dr, dtheta pode ser escrita como a soma de integrais duplas iteradas da seguinte forma:

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