Escrever, na forma de uma soma de integrais iteradas duplas, a integral
, onde
é a região interior à esfera
exterior ao cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente escreva a integral tripla
em termos de uma soma de integrais duplas iteradas. A região
é o espaço dentro da esfera
e fora do cone
. Vamos utilizar coordenadas cilíndricas para facilitar a visualização e o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A esfera
é uma esfera de raio 1 centrada na origem. O cone
tem um ângulo de abertura de 45 graus. A região
está dentro da esfera e fora do cone, ou seja, é como uma “casca” esférica cortada pelo cone.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Determinar os limites de integração:
-
varia de a (completando a volta ao redor do eixo z). - Para cada
, varia de até onde o cone e a esfera se encontram. Do cone e da esfera . Então, varia de até (ponto de interseção). - Para
, varia do cone até a esfera .
Passo 5
Agora, escrevemos a integral tripla como uma soma de integrais duplas iteradas:
Resposta
A integral
pode ser escrita como a soma de integrais duplas iteradas da seguinte forma: