Seja S a superfície no R^3 dada pela equação x^2 + 3y^2 + 4z^2 = 8.
(b) Encontre todos os pontos (x0, y0, z0) em S tais que a reta normal a S em (x0, y0, z0) passa pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos todos os pontos na superfície dada por onde a reta normal à superfície nesse ponto passa pela origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente o vetor normal à superfície e a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o vetor normal à superfície. A superfície é definida pela equação . O vetor normal em qualquer ponto da superfície é dado pelo gradiente de , ou seja:

Passo 3

Agora, a reta normal à superfície no ponto pode ser descrita parametrizando essa reta usando o vetor normal. A equação paramétrica da reta normal é:
Onde é o parâmetro.

Passo 4

Queremos que essa reta passe pela origem . Isso significa que existe um valor de para o qual as coordenadas serão zero. Vamos igualar cada componente a zero:

Passo 5

Vamos resolver cada equação para :
  1. ou ou
  2. ou ou
  3. ou ou
Para que a reta passe pela origem, o valor de deve ser o mesmo nas três equações. Isso só é possível se duas das coordenadas forem zero.

Passo 6

Vamos analisar os casos possíveis:
Caso 1: e
  • A terceira equação fica
  • Resolvendo para , temos
  • Substituindo na equação da superfície:
  • Pontos: e
Caso 2: e
  • A segunda equação fica
  • Resolvendo para , temos
  • Substituindo na equação da superfície:
  • Pontos: e
Caso 3: e
  • A primeira equação fica
  • Resolvendo para , temos
  • Substituindo na equação da superfície:
  • Pontos: e

Resposta

Os pontos na superfície onde a reta normal passa pela origem são:

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