Seja a superfície no dada pela equação .
(b) Encontre todos os pontos em tais que a reta normal a em passa pela origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos todos os pontos na superfície dada por onde a reta normal à superfície nesse ponto passa pela origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente o vetor normal à superfície e a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o vetor normal à superfície. A superfície é definida pela equação . O vetor normal em qualquer ponto da superfície é dado pelo gradiente de , ou seja:
Passo 3
Agora, a reta normal à superfície no ponto pode ser descrita parametrizando essa reta usando o vetor normal. A equação paramétrica da reta normal é:
Onde é o parâmetro.
Passo 4
Queremos que essa reta passe pela origem . Isso significa que existe um valor de para o qual as coordenadas serão zero. Vamos igualar cada componente a zero:
Passo 5
Vamos resolver cada equação para :
ou ou
ou ou
ou ou
Para que a reta passe pela origem, o valor de deve ser o mesmo nas três equações. Isso só é possível se duas das coordenadas forem zero.
Passo 6
Vamos analisar os casos possíveis:
Caso 1: e
A terceira equação fica
Resolvendo para , temos
Substituindo na equação da superfície:
Pontos: e
Caso 2: e
A segunda equação fica
Resolvendo para , temos
Substituindo na equação da superfície:
Pontos: e
Caso 3: e
A primeira equação fica
Resolvendo para , temos
Substituindo na equação da superfície:
Pontos: e
Resposta
Os pontos na superfície onde a reta normal passa pela origem são: