Para calcular la integral triple de la función continua
sobre la región
, se puede proceder a integrar:
a. primero respecto de
, luego respecto de
, por último respecto de :
En cada caso, escriba la expresión de la integral iterada correspondiente.
a. primero respecto de
En cada caso, escriba la expresión de la integral iterada correspondiente.
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Queremos calcular a integral tripla da função contínua $ f(x, y, z) $ sobre a região $ R = {(x, y, z) \mid x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1} $. Isso significa que estamos integrando sobre uma esfera de raio 1 centrada na origem. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração em coordenadas cartesianas quando integramos primeiro em relação a $ x $, depois $ y $ e, por último, $ z $.
Queremos calcular a integral tripla da função contínua $ f(x, y, z) $ sobre a região $ R = {(x, y, z) \mid x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1} $. Isso significa que estamos integrando sobre uma esfera de raio 1 centrada na origem. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração em coordenadas cartesianas quando integramos primeiro em relação a $ x $, depois $ y $ e, por último, $ z $.
Passo 2
Entendendo a Região de Integração:
A região $ R $ é uma esfera de raio 1. Em coordenadas cartesianas, a equação da esfera é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Para definir os limites de integração, vamos integrar primeiro em relação a $ x $, depois $ y $ e, por fim, $ z $.
A região $ R $ é uma esfera de raio 1. Em coordenadas cartesianas, a equação da esfera é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Para definir os limites de integração, vamos integrar primeiro em relação a $ x $, depois $ y $ e, por fim, $ z $.
Passo 3
Definindo os Limites para $ x $:
Para um dado $ y $ e $ z $, $ x $ varia de $ -\sqrt{1 - y^{2} - z^{2}} $ até $ \sqrt{1 - y^{2} - z^{2}} $. Isso porque, para cada $ y $ e $ z $, o valor de $ x $ está limitado pela esfera.
Para um dado $ y $ e $ z $, $ x $ varia de $ -\sqrt{1 - y^{2} - z^{2}} $ até $ \sqrt{1 - y^{2} - z^{2}} $. Isso porque, para cada $ y $ e $ z $, o valor de $ x $ está limitado pela esfera.
Passo 4
Definindo os Limites para $ y $:
Para um dado $ z $, $ y $ varia de $ -\sqrt{1 - z^{2}} $ até $ \sqrt{1 - z^{2}} $. Isso representa a interseção da esfera com o plano $ z $, formando um círculo de raio $ \sqrt{1 - z^{2}} $.
Para um dado $ z $, $ y $ varia de $ -\sqrt{1 - z^{2}} $ até $ \sqrt{1 - z^{2}} $. Isso representa a interseção da esfera com o plano $ z $, formando um círculo de raio $ \sqrt{1 - z^{2}} $.
Passo 5
Definindo os Limites para $ z $:
Finalmente, $ z $ varia de $ -1 $ até $ 1 $, que são os limites verticalmente da esfera.
Finalmente, $ z $ varia de $ -1 $ até $ 1 $, que são os limites verticalmente da esfera.
Resposta
A expressão da integral iterada, integrando primeiro em relação a $ x $, depois $ y $ e, por último, $ z $, é: