Demonstre que a função
É uma solução da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente provar que a função
é uma solução da equação diferencial
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e cálculo diferencial, mais especificamente, como derivar termo a termo uma série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $. Ela é uma série infinita onde cada termo é da forma
Isso significa que a função é uma soma de termos que têm potências pares de $ x $ e alternam de sinal devido ao $ (-1)^n $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $ da função. Derivando termo a termo, temos:
Podemos simplificar isso:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada $ f’’(x) $. Derivando $ f’(x) $ termo a termo:
Simplificando:
Agora, damos uma mudança de índice para facilitar a comparação. Se substituirmos $ n $ por $ n+1 $, temos:
Passo 5
Vamos somar $ f’’(x) $ e $ f(x) $:
Note que o primeiro somatório começa em $ n=0 $, e o segundo em $ n=1 $. O termo faltante no segundo somatório quando comparado com o primeiro é quando $ n=0 $:
Simplificando:
Resposta
Portanto, mostramos que
confirmando que a função $ f(x) $ é uma solução da equação diferencial dada.