Demonstre que a função
f(x)=sumn=1^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!
É uma solução da equação
f^prime prime(x)+f(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente provar que a função
f(x) = sumn=1^infty (-1)^n x^2n(2n)!
é uma solução da equação diferencial
f''(x) + f(x) = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e cálculo diferencial, mais especificamente, como derivar termo a termo uma série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $. Ela é uma série infinita onde cada termo é da forma
f(x)
Isso significa que a função é uma soma de termos que têm potências pares de $ x $ e alternam de sinal devido ao $ (-1)^n $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $ da função. Derivando termo a termo, temos:
Podemos simplificar isso:
f'(x)

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada $ f’’(x) $. Derivando $ f’(x) $ termo a termo:
Simplificando:
f''(x)
Agora, damos uma mudança de índice para facilitar a comparação. Se substituirmos $ n $ por $ n+1 $, temos:

Passo 5

Vamos somar $ f’’(x) $ e $ f(x) $:
Note que o primeiro somatório começa em $ n=0 $, e o segundo em $ n=1 $. O termo faltante no segundo somatório quando comparado com o primeiro é quando $ n=0 $:
Simplificando:
f''(x)

Resposta

Portanto, mostramos que
f''(x) + f(x) = 0,
confirmando que a função $ f(x) $ é uma solução da equação diferencial dada.

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