Considere a função definida por f(x)=2-x^2x^2-4. Portanto, f^prime(x)=4 x(x^2-4)^2 e, com isso, temos que f^prime prime(x)=-4(3 x^2+4)(x^2-4)^3. Responda e justifique os itens abaixo.
Determine os pontos de inflexão e descreva os intervalos de concavidade do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar os pontos de inflexão e descrever os intervalos de concavidade do gráfico da função $ f(x) = \frac{2 - x{2}}{x{2} - 4} $.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente o estudo das derivadas segunda para analisar a concavidade e pontos de inflexão de uma função.
O que vamos precisar:
  • Conhecer como calcular pontos de inflexão usando a segunda derivada.
  • Entender o que são intervalos de concavidade para cima e para baixo.
  • Saber analisar onde a segunda derivada muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os pontos de inflexão. São os pontos no gráfico da função onde a concavidade muda, ou seja, de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, a gente precisa verificar onde a segunda derivada $ f’’(x) $ muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos olhar a expressão da segunda derivada que foi dada:
f''(x) = -4(3x^2 + 4)(x^2 - 4)^3
Precisamos identificar onde $ f’’(x) = 0 $ ou onde ela não está definida, pois esses são os candidatos a pontos de inflexão.

Passo 4

Vamos começar encontrando onde $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 0
Resolvendo a equação:
-4(3x^2 + 4) = 0 implies 3x^2 + 4 = 0
Como $ x^{2} $ não pode ser negativo, não há solução real para essa equação. Portanto, não existem pontos onde a segunda derivada é zero.

Passo 5

Agora, vamos verificar onde $ f’’(x) $ não está definida. Isso ocorre quando o denominador é zero:
f''(x)
Portanto, a segunda derivada não está definida em $ x = 2 $ e $ x = -2 $. Precisamos verificar se nesses pontos há mudanças na concavidade.

Passo 6

Vamos analisar os intervalos definidos pelos pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $:
  1. $ x < -2 $
  2. $ -2 < x < 2 $
  3. $ x > 2 $
Em cada intervalo, vamos determinar o sinal de $ f’’(x) $ para identificar a concavidade.

Passo 7

Intervalo 1: $ x < -2 $
Escolha um valor, por exemplo, $ x = -3 $:
x < -2
Como $ f’’(x) < 0 $, a concavidade é para baixo.

Passo 8

Intervalo 2: $ -2 < x < 2 $
Escolha um valor, por exemplo, $ x = 0 $:
-2 < x < 2
Aqui, $ f’’(x) > 0 $, então a concavidade é para cima.

Passo 9

Intervalo 3: $ x > 2 $
Escolha um valor, por exemplo, $ x = 3 $:
x > 2
Novamente, $ f’’(x) < 0 $, indicando concavidade para baixo.

Passo 10

Agora, vamos verificar a mudança na concavidade nos pontos onde a segunda derivada não está definida, ou seja, $ x = -2 $ e $ x = 2 $:
  • À esquerda de $ x = -2 $, a concavidade é para baixo.
  • À direita de $ x = -2 $, a concavidade muda para cima.
Portanto, há um ponto de inflexão em $ x = -2 $.
  • À esquerda de $ x = 2 $, a concavidade é para cima.
  • À direita de $ x = 2 $, a concavidade muda para baixo.
Assim, também há um ponto de inflexão em $ x = 2 $.

Resposta

Os pontos de inflexão do gráfico de $ f $ estão em $ x = -2 $ e $ x = 2 $. A concavidade do gráfico é para baixo nos intervalos $ x < -2 $ e $ x > 2 $, e para cima no intervalo $ -2 < x < 2 $.

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