Calcular
integral x raizx^2+1 d x

Exemplo 8

Passo 1

Temos que calcular a integral
integral x raizx^2+1,dx
O conteúdo envolve integração por substituição (u-substituição) e vamos precisar escolher uma mudança de variável que simplifique a raiz.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = x^2+1,
o que implica
du = 2x,dx
Logo, podemos isolar x,dx como x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral x raizx^2+1,dx = integral raizu cdot 12,du = 12integral u^1/2,du
Agora temos uma potência de u, que é direto de integrar.

Passo 4

Integramos u^1/2:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2
Multiplicando pelo tfrac12 que estava na frente dá tfrac12cdottfrac23u^3/2 = tfrac13u^3/2.

Passo 5

Voltando à variável x, como u = x^2+1, a primitiva fica
13(x^2+1)^3/2 + C

Resposta

13(x^2+1)^3/2 + C

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