Calcular:
a) integral(x+1) sen(x+1)^2 d x
b) integral0^1 e^2 x cos (e^2 x) d x
c) integral tg(x) d x
d) integral cotg(x) d x
e) integral sec (x) d x

Passo 1

O enunciado pede cinco primitivas (uma delas definida de 0 a 1), envolvendo principalmente substituição para funções compostas e antiderivadas padrão de funções trigonométricas.

Passo 2

Para
integral (x+1),sinl((x+1)^2r),dx
fazemos a substituição
u=(x+1)^2, du=2(x+1),dx
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(x+1),dx=du2
e a integral vira
integral (x+1)sinl((x+1)^2r),dx =12integral sin(u),du =-tfrac12cos(u)+C =-tfrac12cosl((x+1)^2r)+C

Passo 3

Para
integral0^1 e^2x,cosl(e^2xr),dx
fazemos a substituição
u=e^2x, du=2e^2x,dx
portanto
e^2x,dx=du2
e os limites vão de u(0)=1 até u(1)=e^2. Assim
integral0^1 e^2xcosl(e^2xr),dx =12integral1^e^2cos(u),du =12l[sin(u)r]1^e^2 =12l(sin(e^2)-sin(1)r)

Passo 4

Para
integral tan(x),dx
usamos a primitiva padrão
integral tan(x),dx =-lnl|cos(x)r|+C

Passo 5

Para
integral cot(x),dx
a primitiva conhecida é
integral cot(x),dx =lnl|sin(x)r|+C

Passo 6

Para
integral sec(x),dx
usamos a identidade
integral sec(x),dx =lnl|sec(x)+tan(x)r|+C

Resposta

a) -tfrac12cosl((x+1)^2r)+C
b) tfrac12l(sin(e^2)-sin(1)r)
c) -lnlvertcos(x)rvert+C
d) lnlvertsin(x)rvert+C
e) lnlvertsec(x)+tan(x)rvert+C

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