Calcular

integral0^ln 3 e^x(1+e^x)^2 d x

Passo 1

Estamos calculando a integral integral0^ln 3 e^xl(1+e^xr)^2,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição: queremos transformar a expressão de jeito que fique mais fácil integrar.

Passo 2

Fazendo a substituição t = 1 + e^x. Então temos dt = e^x,dx. Também precisamos trocar os limites de integração: quando x = 0, t = 1 + e^0 = 2; quando x = ln 3, t = 1 + e^ln 3 = 4.
Com essa troca, a integral em x vira uma integral em t:
integral0^ln 3 e^xl(1+e^xr)^2,dx = integral2^4 t^2,dt

Passo 3

Agora basta integrar t^2. A antiderivada de t^2 é tfract^33. Então:
integral2^4 t^2,dt = l[tfract^33r]2^4 = 4^33 - 2^33 = 643 - 83 = 563

Resposta

563

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