Calcule as integrais:
integral1^2 4+uu^3 d u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de integral1^2 4 + uu^3 , du. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente, integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da integral e aplicar as regras de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos separar a fração:
4 + uu^3 = 4u^3 + uu^3 = 4u^-3 + u^-2
Essa simplificação facilita a aplicação das regras de integração.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral separadamente para cada termo:
integral1^2 (4u^-3 + u^-2) , du = integral1^2 4u^-3 , du + integral1^2 u^-2 , du
Isso nos permite integrar cada parte de forma independente.

Passo 4

Vamos integrar o primeiro termo, 4u^-3. A regra de integração para u^n é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando essa regra:
integral 4u^-3 , du = 4 cdot u^-2-2 = -2u^-2

Passo 5

Agora, vamos integrar o segundo termo, u^-2, usando a mesma regra:
integral u^-2 , du = u^-1-1 = -u^-1

Passo 6

Agora, juntamos as integrais calculadas:
integral1^2 4 + uu^3 , du = [-2u^-2 - u^-1]1^2
Isso significa que precisamos avaliar a expressão -2u^-2 - u^-1 nos limites de 1 a 2.

Passo 7

Vamos calcular para u = 2:
-2(2)^-2 - (2)^-1 = -2 cdot 14 - 12 = -12 - 12 = -1
E para u = 1:
-2(1)^-2 - (1)^-1 = -2 cdot 1 - 1 = -2 - 1 = -3

Passo 8

Agora, subtraímos o valor em u = 1 do valor em u = 2:
-1 - (-3) = -1 + 3 = 2

Resposta

A integral integral1^2 4 + uu^3 , du é igual a 2.

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