Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
integral d xraiz(16+x^2)^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dxraiz(16+x^2)^2. O conteúdo é substituição trigonométrica para integrar expressões com quadrático sob raiz e vamos usar a relação entre tangente e secante.

Passo 2

Fazemos a substituição x = 4tantheta. Dessa forma, dx = 4sec^2theta,dtheta e o ângulo theta varia de acordo com theta = arctan(x/4).
Precisamos também reescrever a raiz: como 16 + x^2 = 16 + 16tan^2theta = 16sec^2theta e isso é sempre positivo, temos
raiz(16+x^2)^2 = 16sec^2theta

Passo 3

Substituindo tudo na integral original,
integral dxraiz(16+x^2)^2 = integral 4sec^2theta,dtheta16sec^2theta = integral 14,dtheta = theta4 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x usando theta = arctan(x/4). Assim a resposta final é
final_answer

Resposta

14 arctanl(x4r)+C

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