1. Calcular
integral1^e x(1+x^2)^2 d x
  1. Decompor em frações parciais a função f definida por
f(x)=2 x^2-3 x+2(1+x^2)^2
  1. Calcular integral1^e f(x) d x.
  2. Usando substituição e 3) calcular :
integral0^1 (2 e^2 x-3 e^x+2) e^x(1+e^2 x)^2 d x

Passo 1

O exercício envolve integração definida, decomposição em frações parciais e substituição. Precisamos calcular: 1) integral1^ex(1+x^2)^2,dx; 2) decompor f(x)=2x^2-3x+2(1+x^2)^2; 3) integral1^ef(x),dx; 4) integral0^1(2e^2x-3e^x+2)e^x(1+e^2x)^2,dx usando substituição. Vamos usar mudança de variável, frações parciais e reconhecimento de padrão.

Passo 2

Para calcular integral1^ex(1+x^2)^2,dx, faça u=1+x^2 e du=2x,dx. Assim
x,dx=du2, (1+x^2)^2=u^2

Passo 3

A integral vira
12integralu(1)=2^u(e)=1+e^2u^-2,du=12gl(-u^-1gr)|2^1+e^2=-12(1+e^2)+14

Passo 4

Para decompor f(x)=2x^2-3x+2(1+x^2)^2, use a forma
Ax+B1+x^2+Cx+D(1+x^2)^2

Passo 5

Igualando numeradores:
,Ax^3+Bx^2+(A+C)x+(B+D)=2x^2-3x+2,

Passo 6

temos A=0, B=2, A+C=-3Rightarrow C=-3, B+D=2Rightarrow D=0. Logo
f(x)=21+x^2-3x(1+x^2)^2

Passo 7

Para integral1^ef(x),dx, separe em
2integral1^edx1+x^2-3integral1^ex(1+x^2)^2,dx

Passo 8

Sabemos que integral x/(1+x^2)^2,dx=-1/[2(1+x^2)]. Aplicando limites e somando com 2[arctan x]1^e
2(arctan e-tfracpi4)+l(-3r)l(tfrac14-tfrac12(1+e^2)r)=2arctan e-pi2-34+32(1+e^2)

Passo 9

Para integral0^1(2e^2x-3e^x+2)e^x(1+e^2x)^2,dx, faça a substituição t=e^x, então dt=e^x,dx e os limites vão de t(0)=1 a t(1)=e. A integral se torna integral1^e2t^2-3t+2(1+t^2)^2,dt, que é exatamente integral1^ef(t),dt. Portanto o valor dessa integral é igual ao calculado em 3).

Resposta

  1. integral1^ex(1+x^2)^2,dx=14-12(1+e^2);
  2. f(x)=21+x^2-3x(1+x^2)^2;
  3. integral1^ef(x),dx=2arctan(e)-pi2-34+32(1+e^2);
  4. integral0^1(2e^2x-3e^x+2)e^x(1+e^2x)^2,dx=2arctan(e)-pi2-34+32(1+e^2).

Exercícios relacionados