Calcule as integrais:
integral0^pi / 4 1cos x d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral definida integral0^pi/4 1cos x , dx, que é a integral de sec x. Precisaremos encontrar a antiderivada de sec x.

Passo 2

Começamos reescrevendo a integral de sec x usando o truque
integral sec x , dx = integral sec x (sec x + tan x)sec x + tan x , dx = integral sec^2 x + sec x tan xsec x + tan x , dx

Passo 3

Observamos que o numerador sec^2 x + sec x tan x é a derivada de sec x + tan x, pois
ddx(sec x + tan x) = sec x tan x + sec^2 x
Fazendo u = sec x + tan x e du = (sec x tan x + sec^2 x) , dx, a integral vira integral du/u = ln|u| + C, resultando em
integral sec x , dx = ln|sec x + tan x| + C

Passo 4

Agora aplicamos ao caso definido: se a primitiva é F(x) = ln|sec x + tan x|, então
integral0^pi/4 sec x , dx = F(pi/4) - F(0)

Passo 5

Calculamos os valores nos limites:
sec(pi/4)=raiz2,tan(pi/4)=1,sec(0)=1,tan(0)=0.
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F(pi/4)-F(0) = ln(raiz2+1) - ln(1) = ln(raiz2+1)

Resposta

ln(raiz2 + 1)

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