Nos exercícios 22 a 29 , calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
25.
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Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos calcular o comprimento de arco da curva paramétrica definida por x = t sen t e y = t cos t no intervalo t ∈ [0, π]. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos usar a fórmula L = ∫ₐᵇ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.
Passo 2
Para montar a integral, primeiro derivamos x(t) e y(t) em relação a t. Aplicando regra do produto: x = t sen t ⇒
y = t cos t ⇒
Passo 3
Agora somamos os quadrados das derivadas:
Passo 4
Expandindo e somando, os termos cruzados se anulam e usamos
e
, obtendo
Passo 5
Então o comprimento de arco é
Passo 6
Para calcular essa integral, usamos a primitiva padrão:
Passo 7
Por fim, avaliamos de t = 0 até t = π: