Nos exercícios 22 a 29 , calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
25. lx=t sen t y=t cos t

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular o comprimento de arco da curva paramétrica definida por x = t sen t e y = t cos t no intervalo t ∈ [0, π]. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos usar a fórmula L = ∫ₐᵇ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt.

Passo 2

Para montar a integral, primeiro derivamos x(t) e y(t) em relação a t. Aplicando regra do produto: x = t sen t ⇒
x'(t) = sin t + tcos t,
y = t cos t ⇒
y'(t) = cos t - tsin t

Passo 3

Agora somamos os quadrados das derivadas:
(x')^2 + (y')^2 = (sin t + tcos t)^2 + (cos t - tsin t)^2

Passo 4

Expandindo e somando, os termos cruzados se anulam e usamos sin^2 t + cos^2 t = 1 e t^2(cos^2 t + sin^2 t)=t^2, obtendo
(x')^2 + (y')^2 = 1 + t^2

Passo 5

Então o comprimento de arco é
L = integral0^pi raiz1 + t^2,dt

Passo 6

Para calcular essa integral, usamos a primitiva padrão:
integral raiz1 + t^2,dt = t2raiz1 + t^2 + 12lnl|t + raiz1 + t^2r| + C

Passo 7

Por fim, avaliamos de t = 0 até t = π:
L = [t2raiz1 + t^2 + 12lnl(t + raiz1 + t^2r)]0^pi = pi2raiz1 + pi^2 + 12lnl(pi + raiz1 + pi^2r)

Resposta

L = pi2raiz1 + pi^2 + 12lnl(pi + raiz1 + pi^2r)

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