Utilizando as fórmulas: sin m x cos n x=12[sin (m+n) x+sin (m-n) x] ; cos m x cos n x=12[cos (m+n) x+cos (m-n) x], Calcule: integral-pi^pi cos 2 x cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
-pi
de
pi a
cos m xcos n x, usando as fórmulas de produto para soma. O conteúdo aqui é integração de produto de funções trigonométricas e vamos precisar usar a identidade que transforma em soma de cossenos.

Passo 2

Aplicando a fórmula de produto para soma para cos m x cos n x com m=2 e n=3:
cos2xcos3x = 12l[cos(2+3)x + cos(2-3)xr] = 12l[cos5x + cos(-x)r]
Como cos(-x)=cos x, temos
cos2xcos3x = 12l[cos5x + cos xr]

Passo 3

Agora separe a integral e integre cada termo. Temos
integral-pi^picos2xcos3x,dx = 12integral-pi^picos5x,dx + 12integral-pi^picos x,dx
Para cada termo, use integralcos(kx),dx=tfrac1ksin(kx).

Passo 4

Avalie cada integral no intervalo simétrico. Primeiro
integral-pi^picos5x,dx = l[tfrac15sin5xr]-pi^pi = tfrac15(sin5pi - sin(-5pi)) = 0,
e depois
integral-pi^picos x,dx = l[sin xr]-pi^pi = sinpi - sin(-pi) = 0
Somando com o fator tfrac12, o resultado final é zero.

Resposta

0

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