Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Além disso, esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema: Temos a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ e queremos estudar a concavidade dela, encontrar os pontos de inflexão e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas primeiras e segundas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos dá a inclinação da curva em cada ponto. A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a derivada segunda, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A derivada segunda é a derivada da derivada primeira:
Passo 4
Vamos encontrar os pontos onde a concavidade muda, ou seja, os pontos de inflexão. Para isso, igualamos a derivada segunda a zero e resolvemos para $ x $:
Então, $ x = 1 $ é um candidato a ponto de inflexão.
Passo 5
Para confirmar que $ x = 1 $ é realmente um ponto de inflexão, vamos verificar o sinal de $ f’’(x) $ em torno desse ponto:
-
Para $ x < 1 $, digamos $ x = 0 $:
-
Para $ x > 1 $, digamos $ x = 2 $:
Como a concavidade muda de para baixo para para cima em $ x = 1 $, confirmamos que é um ponto de inflexão.
Passo 6
Agora, vamos resumir nossa análise:
- A concavidade da função muda em $ x = 1 $.
- Para $ x < 1 $, a função é côncava para baixo.
- Para $ x > 1 $, a função é côncava para cima.
- Há um ponto de inflexão em $ x = 1 $.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x $:
- Identificamos o ponto de inflexão em $ x = 1 $.
- A função é cúbica, então seu gráfico tem a forma típica de uma curva que sobe para $ +\infty $ e desce para $ -\infty $.
- Marque pontos chave e considere a concavidade nos intervalos para desenhar o esboço.
Resposta
A função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x $ possui um ponto de inflexão em $ x = 1 $. Para $ x < 1 $, a função é côncava para baixo, e para $ x > 1 $, é côncava para cima. O gráfico apresenta uma mudança de concavidade nesse ponto, conforme esboçado.