Suponha que z=f(x, y) seja dada implicitamente pela equação e^x y z=x^2+y^2+z^2. Supondo que f admite derivada parcial em relação a x, expresse partial zpartial x em termos de x, y e z.

Passo 1

Aqui a gente tem a função implícita e^xyz=x^2+y^2+z^2 definindo z=f(x,y). O conteúdo principal é diferenciação implícita, e vamos precisar da regra da cadeia e da regra do produto para derivar e^xyz em relação a x (mantendo y constante e sabendo que z depende de x).

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Como y é tratada como constante e z=z(x,y), ao derivar o lado esquerdo usamos regra da cadeia sobre a exponencial e depois a regra do produto em xyz:
Lado esquerdo: derivada de e^xyz é produto de e^xyz pela derivada de xyz. Como xyz=xcdot ycdot z(x),
ddxl(e^xyzr)=e^xyzcdotddx(xyz)=e^xyzl(yz+x y,zxr)
Lado direito: derivada de x^2+y^2+z^2 em relação a x é
$$
2x+2z,z_x
$$

Passo 3

Agora igualamos as duas derivações:
e^xyzl(yz+xy,zxr)=2x+2z,zx

Passo 4

Em seguida, agrupamos os termos que contêm zx de um lado e os restantes do outro:
e^xyzxy,zx-2z,zx=2x-e^xyzyz

Passo 5

Fatorando zx no lado esquerdo:
zxl(e^xyzxy-2zr)=2x-e^xyzyz

Passo 6

Por fim, isolamos zx=partial z/partial x:

Resposta

partial zpartial x=2x-e^xyzyze^xyzxy-2z

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