Calcular
ao longo da curva
, de
até
no sentido positivo, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo da curva definida por
e
, indo de
até
no sentido positivo. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e então calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como
e
, estamos lidando com um círculo de raio 1 no plano
. Podemos usar a parametrização trigonométrica para o círculo:
Onde
varia de
a
para ir de
até
. Mas como queremos ir de
até
no sentido positivo (que é o sentido anti-horário), nosso intervalo de
será de
a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
para obter
:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização na função vetorial
:
Como
, temos:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar essa expressão de
até
:
Podemos mudar os limites de integração para de
a
e mudar o sinal:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Calculando cada integral de
a
:
Passo 8
Somando tudo:
Resposta
O valor da integral
é igual a 1.