Calcular integralC A cdot d r ao longo da curva x^2+y^2=1, z=1, de (0,1,1) até (1,0,1) no sentido positivo, sendo A=(y z+2 x) i+(x z) j+(x y+2 z) k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha da função vetorial A ao longo da curva definida por x^2+y^2=1 e z=1, indo de (0,1,1) até (1,0,1) no sentido positivo. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e então calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como x^2+y^2=1 e z=1, estamos lidando com um círculo de raio 1 no plano z=1. Podemos usar a parametrização trigonométrica para o círculo:
r(t) = (cos t), i + (sin t), j + 1, k
Onde t varia de 0 a pi2 para ir de (1,0,1) até (0,1,1). Mas como queremos ir de (0,1,1) até (1,0,1) no sentido positivo (que é o sentido anti-horário), nosso intervalo de t será de pi2 a 0.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de r(t) em relação a t para obter dr:
drdt = (-sin t), i + (cos t), j + 0, k
Então,
dr = (-sin t), dt, i + (cos t), dt, j

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função vetorial A:
A = (y z + 2x), i + (x z), j + (x y + 2 z), k
Como z=1, temos:
A = (y cdot 1 + 2x), i + (x cdot 1), j + (x y + 2 cdot 1), k = (y + 2x), i + x, j + (x y + 2), k
Substituindo x = cos t e y = sin t:
A(t) = (sin t + 2cos t), i + cos t, j + (cos t sin t + 2), k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar A cdot dr:
A cdot dr = (sin t + 2cos t)(-sin t), dt + (cos t)(cos t), dt + (cos t sin t + 2)(0), dt
Simplificando:
A cdot dr = [-(sin^2 t + 2cos t sin t) + cos^2 t], dt

Passo 6

Vamos integrar essa expressão de t = pi2 até t = 0:
integralpi2^0 [ -sin^2 t - 2cos t sin t + cos^2 t ], dt
Podemos mudar os limites de integração para de 0 a pi2 e mudar o sinal:
integral0^pi2 [sin^2 t + 2cos t sin t - cos^2 t], dt

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral0^pi2 sin^2 t, dt + 2integral0^pi2 cos t sin t, dt - integral0^pi2 cos^2 t, dt
Sabemos que:
integral sin^2 t, dt = t2 - sin 2t4 + C
integral cos t sin t, dt = sin^2 t2 + C
integral cos^2 t, dt = t2 + sin 2t4 + C
Calculando cada integral de 0 a pi2:
  1. integral0^pi2 sin^2 t, dt = [ t2 - sin 2t4 ]0^pi2 = pi4 - 0 = pi4
  2. 2integral0^pi2 cos t sin t, dt = 2 [ sin^2 t2 ]0^pi2 = [ sin^2 t ]0^pi2 = 1 - 0 = 1
  3. -integral0^pi2 cos^2 t, dt = -[ t2 + sin 2t4 ]0^pi2 = -( pi4 + 0 ) = -pi4

Passo 8

Somando tudo:
pi4 + 1 - pi4 = 1

Resposta

O valor da integral integralC A cdot d r é igual a 1.

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