Determine os pontos de máximo absoluto e mínimo absoluto das funções:
•
, em
.
R: (a)
é ponto de mínimo absoluto e
são pontos de máximo
Absoluto
•
R: (a)
Absoluto
Passo 1
O problema pede os extremos absolutos da função f(x,y)=x²+y²+x²y+4 num retângulo D fechado e limitado, ou seja, |x|≤1 e |y|≤1. Como f é contínua em D compacto, sabemos que há máximo e mínimo absolutos. Vamos achar pontos críticos no interior (onde as derivadas parciais se anulam) e depois checar as fronteiras do retângulo.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de f e achar pontos críticos no interior de D. Temos:
Igualando a zero se obtém duas equações: 2x(1+y)=0 e 2y+x²=0. Da primeira vem x=0 ou y=−1. Se x=0, da segunda y=0, dando (0,0). Se y=−1, da segunda x²=2, que não está em |x|≤1. Logo o único crítico interior é (0,0).
Passo 3
Analisar as bordas x=±1. Substituindo x=±1 em f:
$$
f(\pm1,y)=1+y2+(\pm1)2y+4=y^2+y+5.$$
É uma parábola em y (aberta para cima). Para y∈[−1,1], o valor mínimo é no vértice y=−½, f=4,75, e o máximo nos extremos y=1 (f=7) e y=−1 (f=5).
É uma parábola em y (aberta para cima). Para y∈[−1,1], o valor mínimo é no vértice y=−½, f=4,75, e o máximo nos extremos y=1 (f=7) e y=−1 (f=5).
Passo 4
Analisar as bordas y=±1. Primeiro y=1:
$$
f(x,1)=x2+1+x2·1+4=2x^2+5,
f(x,−1)=x2+1−x2+4=5,$$
constantemente. Portanto na borda y=−1 temos sempre f=5.
constantemente. Portanto na borda y=−1 temos sempre f=5.
Passo 5
Comparar todos os valores obtidos: no crítico interior temos f(0,0)=4; nas bordas vimos valores entre 4,75 e 7; nos cantos (±1,1) f=7. Logo o menor valor é f=4 em (0,0) e o maior é f=7 em (1,1) e (−1,1).
Resposta
(0,0) é o mínimo absoluto com f(0,0)=4; e (1,1), (−1,1) são os máximos absolutos com f=7.