Calcular integralC F cdot d r onde C é dado pela hipérbole x^2-y^2=1, do ponto (3,-raiz8) até o ponto (3, raiz8).
Considere o campo vetorial
F(x, y)=(1+y e^x y) cdot i+(2 y+x e^x y) j

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r ao longo da hipérbole x^2-y^2=1 que vai de (3,-raiz8) até (3,raiz8). O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar testar se o campo é conservativo e, em caso positivo, encontrar a função potencial.

Passo 2

Vamos checar se vec F(x,y)=(1+y e^xy), i + (2y + x e^xy), j é conservativo. Para isso, definimos
P(x,y)=1+y e^{xy},
Q(x,y)=2y+x e^{xy}.
Calculamos
partial Ppartial y=e^xy+xy e^xy=e^xy(1+xy),
partial Qpartial x=e^xy+xy e^xy=e^xy(1+xy)
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=vec F, integramos
partialphipartial x=1+y e^xy
em relação a x:
phi(x,y)=integral(1+y e^xy),dx=x+e^xy+g(y)
Agora, impomos
partialphipartial y=x e^xy+g'(y)stackrel!=2y+x e^xy,
logo g'(y)=2y e
g(y)=y^2+C
Podemos escolher C=0, obtendo
phi(x,y)=x+e^xy+y^2

Passo 4

Como o campo é conservativo, a integral depende só dos extremos. Então
$$\int_C\vec F\cdot d\vec r=\phi\bigl(3,\sqrt8\bigr)-\phi\bigl(3,-\sqrt8\bigr).
integralCvec Fcdot dvec r=phil(3,raiz8r)-phil(3,-raiz8r) \phi(3,\sqrt8)=3+e{3\sqrt8}+8,\quad\phi(3,-\sqrt8)=3+e{-3\sqrt8}+8.$$
Fazendo a diferença vem
phi(3,raiz8)=3+e^3raiz8+8,phi(3,-raiz8)=3+e^-3raiz8+8

Resposta

e^{6\sqrt{2}} - e^{-6\sqrt{2}}

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