gamma Instruções: Suas respostas têm que estar justificadas no quadro associado a cada pergunta. Contas auxiliares associadas a mudança de variavel, partes e frações simples tem que estar em sua resposta. Limites do tipo indeterminado calculados sem ser justificados não serão considerados.
Calcule as integrais.
integral 1x ln (x)^3 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 1x ln (x)^3 , dx. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a expressão integranda.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = ln(x)
Isso significa que precisamos encontrar du em termos de dx. Sabemos que a derivada de ln(x) é 1x, então:
du = 1x , dx Rightarrow dx = x , du

Passo 3

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral 1x (ln(x))^3 , dx = integral 1x u^3 cdot x , du
Aqui, o x no numerador e no denominador se cancelam, ficando:
integral 1u^3 , du

Passo 4

A integral simplificada agora é:
integral u^-3 , du
Para integrar u^-3, usamos a regra da potência para integrais, que diz:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (desde que n neq -1)
Aqui, n = -3, então:
integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12 u^2 + C

Passo 5

Finalmente, substituímos u de volta por ln(x):
-12 (ln(x))^2 + C

Resposta

A integral é igual a -dfrac12,(ln(x))^2 + C.

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