Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
f)
.
f)
Passo 1
Neste problema temos a EDO com valor inicial
Temos a EDO
com condições iniciais
O conteúdo aqui é transformada de Laplace; vamos precisar usar as propriedades
,
,
as tabelas ,
e o teorema de inversão para passar de para
.
as tabelas
e o teorema de inversão para passar de
Passo 2
Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. No lado esquerdo:
No lado direito:
Igualando e resolvendo para
obtemos
Passo 3
Agora vamos inverter cada parcela de
. Primeiro parcela:
é a transformada de
, pois
.
Logo a contribuição é
Logo a contribuição é
Passo 4
Para a segunda parcela
fazemos frações parciais:
Invertendo:
,
,
. Isso dá
Passo 5
Para a terceira parcela
fazemos frações parciais:
Invertendo:
,
,
. Logo
Passo 6
A solução geral é a soma
. Somando e simplificando os termos semelhantes, obtemos
Resposta
y(t)=\frac{t2}{4}-\frac{1}{8}+\frac{3}{5}et-\frac{19}{40}\cos(2t)+\frac{7}{10}\sin(2t)