Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
f) y^prime prime+4 y=t^2+3 e^t ; y(0)=0, y^prime(0)=2.

Passo 1

Neste problema temos a EDO com valor inicial
Temos a EDO
y'' + 4y = t^2 + 3e^t,
com condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=2
O conteúdo aqui é transformada de Laplace; vamos precisar usar as propriedades
Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0),
Ly=Y(s),
as tabelas Lt^n=n!/s^n+1,
Le^at=1/(s-a)
e o teorema de inversão para passar de Y(s) para y(t).

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. No lado esquerdo:
Ly''+4y=l(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)r)+4Y(s)= (s^2+4)Y(s)-2
No lado direito:
Lt^2+3e^t=2s^3 + 3s-1
Igualando e resolvendo para Y(s) obtemos
(s^2+4)Y(s)-2=2s^3+3s-1 Longrightarrow Y(s)=2s^2+4+2s^3(s^2+4)+3(s-1)(s^2+4)

Passo 3

Agora vamos inverter cada parcela de Y(s). Primeiro parcela:
2s^2+4
é a transformada de sin(2t), pois Lsin(2t)=2/(s^2+4).
Logo a contribuição é
y1(t)=sin(2t)

Passo 4

Para a segunda parcela
2s^3(s^2+4)
fazemos frações parciais:
2s^3(s^2+4)=-18s+12s^3+18ss^2+4
Invertendo:
L^-11/s=1,
L^-11/s^3=t^2/2,
L^-1s/(s^2+4)=cos(2t). Isso dá
y2(t)=-18 + t^24 + 18cos(2t)

Passo 5

Para a terceira parcela
3(s-1)(s^2+4)
fazemos frações parciais:
3(s-1)(s^2+4)=3/5s-1-3/5,ss^2+4-3/5s^2+4
Invertendo:
L^-11/(s-1)=e^t,
L^-1s/(s^2+4)=cos(2t),
L^-11/(s^2+4)=tfrac12sin(2t). Logo
y3(t)=35e^t - 35cos(2t) - 310sin(2t)

Passo 6

A solução geral é a soma y(t)=y1(t)+y2(t)+y3(t). Somando e simplificando os termos semelhantes, obtemos
y(t)=t^24-18+35e^t - 1940cos(2t)+710sin(2t)

Resposta

y(t)=\frac{t2}{4}-\frac{1}{8}+\frac{3}{5}et-\frac{19}{40}\cos(2t)+\frac{7}{10}\sin(2t)

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