Instruções: Suas respostas têm que estar justificadas no quadro associado a cada pergunta. Contas auxiliares associadas a mudança de variavel, partes e frações simples tem que estar em sua resposta. Limites do tipo indeterminado calculados sem ser justificados não serão considerados.
Calcule as integrais.
Passo 1
Neste exercício, precisamos calcular a integral da função em relação a . Para resolver, vamos usar o conteúdo de frações parciais e técnicas básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar em evidência:
Passo 3
Agora, reescrevemos a fração original como a soma de duas frações parciais:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandindo o lado direito da equação:
Passo 6
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
De A =1, temos A =1.
De C =4, temos C =4.
Substituindo A=1 na primeira equação: 1 + B =3 Rightarrow B=2.
Passo 9
Agora, substituímos os valores de A, B e C na decomposição das frações parciais:
3x^2+4x+1x(x^2 +1) = 1x + 2x +4x^2 +1
Passo 10
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x dx + integral 2x +4x^2 +1 dx
Passo 11
Primeira integral:
integral 1x dx = ln|x| + C
Passo 12
Segunda integral, dividida em duas partes:
integral 2xx^2 +1 dx + integral 4x^2 +1 dx
Passo 13
Para a primeira parte, fazemos uma substituição:
Se u = x^2 +1, então du = 2x dx. Assim,
integral 2xx^2 +1 dx = integral duu = ln|x^2 +1| + C