gamma Instruções: Suas respostas têm que estar justificadas no quadro associado a cada pergunta. Contas auxiliares associadas a mudança de variavel, partes e frações simples tem que estar em sua resposta. Limites do tipo indeterminado calculados sem ser justificados não serão considerados.
Calcule as integrais.
integral 3 x^2+4 x+1x^3+x d x

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral da função 3x^2+4x+1x^3+x em relação a x. Para resolver, vamos usar o conteúdo de frações parciais e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x. Podemos colocar x em evidência:
x^3 + x = x(x^2 + 1)

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração original como a soma de duas frações parciais:
3x^2+4x+1x(x^2 +1) = Ax + Bx + Cx^2 +1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x(x^2 +1) para eliminar os denominadores:
3x^2 +4x +1 = A(x^2 +1) + (Bx + C)x

Passo 5

Expandindo o lado direito da equação:
3x^2 +4x +1 = A x^2 + A + Bx^2 + Cx

Passo 6

Agrupamos os termos semelhantes:
(A + B)x^2 + Cx + A = 3x^2 +4x +1

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A + B = 3 C = 4 A =1

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  • De A =1, temos A =1.
  • De C =4, temos C =4.
  • Substituindo A=1 na primeira equação: 1 + B =3 Rightarrow B=2.

Passo 9

Agora, substituímos os valores de A, B e C na decomposição das frações parciais:
3x^2+4x+1x(x^2 +1) = 1x + 2x +4x^2 +1

Passo 10

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x dx + integral 2x +4x^2 +1 dx

Passo 11

Primeira integral:
integral 1x dx = ln|x| + C

Passo 12

Segunda integral, dividida em duas partes:
integral 2xx^2 +1 dx + integral 4x^2 +1 dx

Passo 13

Para a primeira parte, fazemos uma substituição:
Se u = x^2 +1, então du = 2x dx. Assim,
integral 2xx^2 +1 dx = integral duu = ln|x^2 +1| + C

Passo 14

Para a segunda parte:
integral 4x^2 +1 dx = 4 arctan x + C

Resposta

A integral é igual a:
ln|x| + ln|x^2 +1| + 4, arctan x + C

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