Calcular
onde
e
é uma curva que liga
e
na região
.
Passo 1
O exercício pede para calcular
onde
e a curva
liga
a
na região
. O conteúdo principal é integral de linha de um campo vetorial e o que vamos usar é o teste de conservatividade, a busca da função potencial e o teorema fundamental do cálculo de linha.
Passo 2
Primeiro, verificamos se
é conservativo conferindo as derivadas mistas num domínio simplesmente conexo (
é simplesmente conexo):
Como todas as igualdades batem,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Passo 4
Impondo
, temos
Passo 5
Impondo
, calculamos
logo
e
é constante (que podemos desprezar). Assim
Passo 6
Finalmente, pelo teorema fundamental do cálculo de linha em campos conservativos, temos