Calcular integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=(2 x yz+1+e^x, x^2z+1,-x^2 y(z+1)^2) e C é uma curva que liga (2,2,2) e (3,3,3) na região z>-1.

Passo 1

O exercício pede para calcular integralCFcdot dr onde F(x,y,z)=(tfrac2xyz+1+e^x,,tfracx^2z+1,,-tfracx^2y(z+1)^2) e a curva C liga (2,2,2) a (3,3,3) na região z>-1. O conteúdo principal é integral de linha de um campo vetorial e o que vamos usar é o teste de conservatividade, a busca da função potencial e o teorema fundamental do cálculo de linha.

Passo 2

Primeiro, verificamos se F é conservativo conferindo as derivadas mistas num domínio simplesmente conexo ( z>-1 é simplesmente conexo):
partial F1partial y=2xz+1, partial F2partial x=2xz+1;
partial F1partial z=-2xy(z+1)^2, partial F3partial x=-2xy(z+1)^2;
partial F2partial z=-x^2(z+1)^2, partial F3partial y=-x^2(z+1)^2
Como todas as igualdades batem, F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y,z), integramos F1=phix em relação a x:
phi(x,y,z)=integrall(2xyz+1+e^xr)dx=x^2yz+1+e^x+g(y,z)

Passo 4

Impondo phiy=F2=tfracx^2z+1, temos
phiy=x^2z+1+gy(y,z)=x^2z+1implies gy(y,z)=0implies g(y,z)=h(z)

Passo 5

Impondo phiz=F3=-tfracx^2y(z+1)^2, calculamos
phiz=-x^2y(z+1)^2+h'(z)=-x^2y(z+1)^2
logo h'(z)=0 e h é constante (que podemos desprezar). Assim
phi(x,y,z)=x^2yz+1+e^x

Passo 6

Finalmente, pelo teorema fundamental do cálculo de linha em campos conservativos, temos
integralCFcdot dr=phi(3,3,3)-phi(2,2,2) =l(3^2cdot33+1+e^3r)-l(2^2cdot22+1+e^2r) =4912+e^3-e^2

Resposta

4912+e^3-e^2

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