Sendo a função f: R R definida por f(x)=2 sen x+sen 2 x+cos 3 x, calcule:
f(0)+f(2 pi)f(3 pi2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f: ℝ→ℝ definida por f(x)=2sin x+sin2x+cos3x e pede o valor do quociente f(0)+f(2pi)f(tfrac3pi2). Vamos usar propriedades de periodicidade e valores notáveis de seno e cosseno.

Passo 2

Para calcular f(0), substituímos x=0:
f(0)=2sin0+sin(2cdot0)+cos(3cdot0)=2cdot0+0+1=1
Aqui usamos que sin0=0 e cos0=1.

Passo 3

Para calcular f(2pi), usamos a periodicidade:
f(2pi)=2sin(2pi)+sin(4pi)+cos(6pi)=2cdot0+0+1=1
Porque sin(2pi k)=0 e cos(2pi k)=1 para todo inteiro k.

Passo 4

Agora, para f(tfrac3pi2):
fl(tfrac3pi2r)=2sinl(tfrac3pi2r)+sin(3pi)+cosl(tfrac9pi2r)
Sabemos que sin(tfrac3pi2)=-1, sin(3pi)=0 e cos(tfrac9pi2)=cos(4pi+tfracpi2)=0. Logo,
fl(tfrac3pi2r)=2cdot(-1)+0+0=-2.

Passo 5

Por fim, formamos o quociente e simplificamos:
f(0)+f(2pi)f(tfrac3pi2)=1+1-2=2-2=-1.

Resposta

-1

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