Calcule o valor numérico da expressão: E=cossec x+sec ^2 x+cotg 3 x2, para x=pi6.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o valor numérico da expressão:
E = cossec , x + sec^2 x + cotg ( 3x2 )
para x = pi6. Vamos usar trigonometria básica, lembrando as definições das funções cossec, sec e cotg.

Passo 2

Vamos começar calculando cossec , x. A função cosecante é o inverso do seno:
cossec , x = 1sin x
Para x = pi6, sabemos que sin pi6 = 12. Então:
cossec , pi6 = 112 = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular sec^2 x. A função secante é o inverso do cosseno:
sec x = 1cos x
Logo,
sec^2 x = ( 1cos x )^2 = 1cos^2 x
Para x = pi6, sabemos que cos pi6 = raiz32. Então:
sec^2 pi6 = 1( raiz32 )^2 = 134 = 43

Passo 4

Por fim, vamos calcular cotg ( 3x2 ). A função cotangente é o inverso da tangente:
cotg theta = 1tan theta = cos thetasin theta
Primeiro, calculamos 3x2 para x = pi6:
3 cdot pi62 = pi4
Então,
cotg ( pi4 ) = cos pi4sin pi4 = raiz22raiz22 = 1

Resposta

Substituindo os valores calculados na expressão original:
E = 2 + 43 + 1 = 63 + 43 + 33 = 133
Então, o valor numérico da expressão para x = pi6 é:
E = 133 approx 4,3

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