Calcular integralC x y z d s onde C é a curva interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2=14, situada no primeiro octante.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha integralC x y z ,d s, onde C é a parte da curva de interseção entre a esfera x^2+y^2+z^2=1 e o cilindro x^2+y^2=tfrac14 situada no primeiro octante. Vamos precisar parametrizar essa curva e usar a fórmula de diferencial de comprimento de arco.

Passo 2

Para parametrizar, note que na interseção x^2+y^2=tfrac14 e x^2+y^2+z^2=1 temos z^2=1-tfrac14=tfrac34, ou seja z=tfracraiz32 (positivo no primeiro octante). Uma parametrização conveniente é
x(t)=tfrac12cos t, y(t)=tfrac12sin t, z(t)=tfracraiz32, tin[0,tfracpi2]

Passo 3

Calculamos agora d s=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2+l(z'(t)r)^2,d t. Como x'(t)=-tfrac12sin t, y'(t)=tfrac12cos t e z'(t)=0, segue
d s=raizl(-tfrac12sin tr)^2+l(tfrac12cos tr)^2,d t=tfrac12,d t

Passo 4

Substituindo na integral de linha, temos
integralCx y z,d s=integral0^tfracpi2l(tfrac12cos tr)l(tfrac12sin tr)l(tfracraiz32r)l(tfrac12r),d t=raiz316integral0^tfracpi2sin tcos t,d t

Passo 5

Agora integramos integral0^tfracpi2sin tcos t,d t. Usando sin tcos t=tfrac12sin(2t),
integral0^tfracpi2sin tcos t,d t=12integral0^tfracpi2sin(2t),d t=12l[-tfrac12cos(2t)r]0^tfracpi2=12cdot12(1-(-1))=12

Passo 6

Multiplicando o fator tfracraiz316 por tfrac12 obtemos o valor final da integral.

Resposta

raiz332

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