Questão 10 - Determine o rotacional do campo vetorial F(x, y, z)=(x-2 z, x+y+z, x-2 y).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y,z) = (P,Q,R)
com
P = x - 2z, Q = x + y + z, R = x - 2y
Queremos o rotacional, que em coordenadas cartesianas é
nablatimes vec F = l(partialy R - partialz Q,;partialz P - partialx R,;partialx Q - partialy Pr)

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais necessárias:
partialy R = partialpartial y(x - 2y) = -2, partialz Q = partialpartial z(x + y + z) = 1,
partialz P = partialpartial z(x - 2z) = -2, partialx R = partialpartial x(x - 2y) = 1,
partialx Q = partialpartial x(x + y + z) = 1, partialy P = partialpartial y(x - 2z) = 0

Passo 3

Substituindo na expressão do rotacional:
(nablatimes vec F)1 = partialy R - partialz Q = -2 - 1 = -3,
(nablatimes vec F)2 = partialz P - partialx R = -2 - 1 = -3,
(nablatimes vec F)3 = partialx Q - partialy P = 1 - 0 = 1

Resposta

nablatimes vec F(x,y,z) = (-3, -3, 1)

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