Calcular integralegral duplaS F cdot n d S, sendo F=y i+x j e S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 no 1^0 octante com a normal apontando para fora.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o fluxo integral duplaS F cdot n,dS para F = y,i + x,j sobre a parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 no primeiro octante, com a normal apontando para fora.

Passo 2

Vamos usar coordenadas esféricas, onde os pontos da esfera são dados por:
x = asinvarphicostheta, y = asinvarphisintheta, z = acosvarphi,
com varphiin[0,pi/2] e thetain[0,pi/2].

Passo 3

Nessa parametrização, o vetor normal unitário externo é n = 1a(x,y,z) e o elemento de área é dS = a^2sinvarphi,dvarphi,dtheta. Logo,:
n,dS = 1a(x,y,z),a^2sinvarphi,dvarphi,dtheta = asinvarphi,(x,y,z),dvarphi,dtheta

Passo 4

O produto escalar fica:
Fcdotl(n,dSr) = l(y,x,0r)cdotl(asinvarphi,(x,y,z)r),dvarphi,dtheta = asinvarphi,(xy + yx),dvarphi,dtheta = 2a,x,y,sinvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 5

Substituindo a parametrização de x e y, a integral dupla vira:
integral duplaSFcdotn,dS = 2aintegral0^pi/2integral0^pi/2 l(asinvarphicosthetar)l(asinvarphisinthetar)sinvarphi ,dvarphi,dtheta =2a^3integral0^pi/2integral0^pi/2sin^3varphi,costheta,sintheta,dvarphi,dtheta

Passo 6

A integral em theta é
integral0^pi/2costheta,sintheta,dtheta = tfrac12,
e em varphi é
integral0^pi/2sin^3varphi,dvarphi = tfrac23
Multiplicando tudo:
2a^3cdot tfrac12cdot tfrac23 = tfrac2a^33

Resposta

tfrac2a^33

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