Calcule as seguintes integrais:
b) integral r e^r / 3 d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral r e^r/3,dr. O conteúdo aqui é integração por partes, cuja fórmula geral é integral u,dv = uv - integral v,du.

Passo 2

Definimos as partes da integração por partes: u = r e dv = e^r/3,dr. Então obtemos
du = dr
e para achar v calculamos
v = integral e^r/3,dr
Fazendo a substituição t = r/3 (logo dr = 3,dt), resulta
v = 3e^r/3

Passo 3

Aplicamos agora a fórmula de integração por partes:
integral r e^r/3,dr = u v - integral v,du = rcdot3e^r/3 - integral 3e^r/3,dr
Para calcular integral 3e^r/3,dr, usamos o resultado anterior para integral e^r/3dr:
integral 3e^r/3,dr = 3cdot3e^r/3 = 9e^r/3

Passo 4

Substituindo este valor, concluímos que
integral r e^r/3,dr = 3r e^r/3 - 9e^r/3 + C
Podemos ainda fatorar 3e^r/3:
integral r e^r/3,dr = 3e^r/3(r - 3) + C

Resposta

3e^{r/3}(r - 3) + C

Exercícios relacionados