Desenhe algumas superfícies de nível das funções
(b)
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Passo 1
Temos a função de duas variáveis w(x,y)=x{2}+y{2}. O conteúdo aqui é curvas (ou superfícies) de nível de uma função de duas variáveis, e vamos precisar usar a definição: para cada valor constante c, a superfície de nível é o conjunto de (x,y) tais que w(x,y)=c.
Passo 2
Aplicamos a definição de nível: seja c um número real. A superfície de nível correspondente a c é dada por
Observamos que x{2}+y{2}=c só tem solução real quando c\ge0. Quando c<0 não há pontos de nível.
Passo 3
Para c\ge0, a equação x{2}+y{2}=c representa um círculo de raio \sqrt{c} no plano w=c. Logo, para diferentes valores de c (por exemplo c=1,4,9) obtemos círculos de raios 1,2 e 3 nos planos w=1, w=4 e w=9, respectivamente.
Passo 4
Na visão tridimensional (eixos x, y e w), essas curvas formam “anéis” (círculos) horizontais em alturas diferentes, mostrando que a função w=x{2}+y{2} é um paraboloide cujas curvas de nível são círculos concêntricos. Desenhe círculos de raios 1,2,3 nos planos w=1,4,9 para ilustrar.
Resposta
Para cada c\ge0, a superfície de nível de w(x,y)=x{2}+y{2} é o círculo de raio \sqrt{c} no plano w=c (não há nível para c<0). Exemplo: para c=1,4,9, círculos de raios 1,2,3 nos planos w=1,4,9.