Calcular
, sendo
e S a superfície exterior da semi-esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
F=x^{2},\vec i + y^{2},\vec j + z^{2},\vec k
pela superfície exterior da semiesfera x{2}+y{2}+z{2}=a{2}, z\ge0
Conteúdo: Teorema da divergência e cálculo de integrais em coordenadas esféricas.
F=x^{2},\vec i + y^{2},\vec j + z^{2},\vec k
pela superfície exterior da semiesfera x{2}+y{2}+z{2}=a{2}, z\ge0
Conteúdo: Teorema da divergência e cálculo de integrais em coordenadas esféricas.
Passo 2
Vamos fechar a região juntando à semiesfera o disco plano no plano z=0 para aplicar o Teorema da Divergência. Denotamos V o semibol em que 0\le z\le a. A fronteira fechada \partial V é a união da semiesfera S e do disco D. Pelo Teorema da Divergência:
Passo 3
Calculamos
Assim
Mas V é simétrico em x e y, então
. Resta calcular
Passo 4
Para
, usamos coordenadas esféricas:
.
Então
Então
Separamos:
Logo
Então
Passo 5
Agora calculamos o fluxo pelo disco D: em D temos z=0, então
e o vetor normal de D (para fora de V) é
Logo
e o vetor normal de D (para fora de V) é
Logo
Passo 6
Pela decomposição do fluxo na fronteira fechada:
Como o fluxo no disco é zero, concluímos que o fluxo pela semiesfera é