Calcular integralegral duplaS F cdot n d S, sendo F=x^2 i+y^2 j+z^2 k e S a superfície exterior da semi-esfera x^2+y^2+z^2=a^2, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de
F=x^{2},\vec i + y^{2},\vec j + z^{2},\vec k
pela superfície exterior da semiesfera x{2}+y{2}+z{2}=a{2}, z\ge0
Conteúdo: Teorema da divergência e cálculo de integrais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Vamos fechar a região juntando à semiesfera o disco plano no plano z=0 para aplicar o Teorema da Divergência. Denotamos V o semibol em que 0\le z\le a. A fronteira fechada \partial V é a união da semiesfera S e do disco D. Pelo Teorema da Divergência:
integral duplapartial VFcdotvec n,dS = integral triplaV (nablacdot F),dV

Passo 3

Calculamos nablacdot F=partialpartial x(x^2)+partialpartial y(y^2)+partialpartial z(z^2)=2x+2y+2z Assim
integral triplaV(nablacdot F),dV = 2integral triplaV(x+y+z),dV
Mas V é simétrico em x e y, então integral triplaV x,dV=integral triplaV y,dV=0. Resta calcular 2integral triplaV z,dV

Passo 4

Para I=integral triplaV z,dV, usamos coordenadas esféricas:
I=integral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^a(rhocosphi),rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta .
Então
integral0^arho^3drho=a^44, integral0^pi/2sinphicosphi,dphi=12, integral0^2pidtheta=2pi
Separamos:
I=2picdota^44cdot12=pi a^44
Logo
2,I=2cdotpi a^44=pi a^42
Então

Passo 5

Agora calculamos o fluxo pelo disco D: em D temos z=0, então
F(x,y,0)=x^2,vec i + y^2,vec j +0,vec k
e o vetor normal de D (para fora de V) é vec n=-vec k
Logo
integral duplaDFcdotvec n,dS=integral duplaD0,dS=0

Passo 6

Pela decomposição do fluxo na fronteira fechada:
integral duplaSFcdotvec n,dS + integral duplaDFcdotvec n,dS = pi a^42
Como o fluxo no disco é zero, concluímos que o fluxo pela semiesfera é
integral duplaSFcdotvec n,dS=pi a^42

Resposta

pi a^42

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