Calcular integralegral duplaS F cdot n d S, sendo F=x i+y j+z k e S a superfície exterior do cilindro x^2+z^2=a^2 limitada pelos planos y=-4 e y=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de fluxo integral duplaS F cdot n , dS, onde F = x,i + y,j + z,k. A superfície S é a parte externa do cilindro x^2 + z^2 = a^2, limitada pelos planos y = -4 e y = 4.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de fluxo através de superfícies.
O que vamos precisar: Conceitos de vetor normal à superfície, parametrização da superfície cilíndrica e cálculo de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de fluxo. Basicamente, ela mede quanto do campo vetorial F passa através da superfície S. Para isso, precisamos do vetor normal n à superfície.
Teoria: O vetor normal n é perpendicular à superfície em cada ponto. No caso de um cilindro lateral, o vetor normal aponta radialmente para fora.

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície do cilindro. Como x^2 + z^2 = a^2, podemos usar coordenadas cilíndricas onde:
x = a costheta z = a sintheta y varia de -4 a 4
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal n. Para o cilindro lateral, o vetor radial é dado por:
n = costheta,i + sintheta,k
Teoria: Esse vetor aponta para fora do cilindro e tem magnitude 1, já que cos^2theta + sin^2theta = 1.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar F cdot n:
F = x,i + y,j + z,k = a costheta,i + y,j + a sintheta,k
F cdot n = (a costheta)(costheta) + y(0) + (a sintheta)(sintheta) = a (cos^2theta + sin^2theta) = a
Explicação: Note que o termo com y desaparece porque n não tem componente j.

Passo 6

Agora, precisamos calcular a área diferencial dS da superfície. Para o cilindro lateral, temos:
dS = a , dy , dtheta
Teoria: A área lateral de um cilindro é a altura vezes a circunferência. Aqui, a , dtheta é o elemento de comprimento ao redor do cilindro, e dy é o elemento de altura.

Passo 7

Vamos montar a integral de fluxo usando os resultados anteriores:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral-4^4 a cdot a , dy , dtheta = a^2 integral0^2pi integral-4^4 dy , dtheta

Passo 8

Resolvendo a integral:
a^2 integral0^2pi [ y ]-4^4 dtheta = a^2 integral0^2pi (4 - (-4)) , dtheta = a^2 integral0^2pi 8 , dtheta = 8a^2 cdot 2pi = 16pi a^2

Resposta

A integral de fluxo é igual a 16,pi,a^2.

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