Calcular , sendo e S a superfície exterior do cilindro limitada pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de fluxo , onde . A superfície é a parte externa do cilindro , limitada pelos planos e .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de fluxo através de superfícies.
O que vamos precisar: Conceitos de vetor normal à superfície, parametrização da superfície cilíndrica e cálculo de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de fluxo. Basicamente, ela mede quanto do campo vetorial passa através da superfície . Para isso, precisamos do vetor normal à superfície.
Teoria: O vetor normal é perpendicular à superfície em cada ponto. No caso de um cilindro lateral, o vetor normal aponta radialmente para fora.
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície do cilindro. Como , podemos usar coordenadas cilíndricas onde:
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal n. Para o cilindro lateral, o vetor radial é dado por:
n = costheta,i + sintheta,k
Teoria: Esse vetor aponta para fora do cilindro e tem magnitude 1, já que cos^2theta + sin^2theta = 1.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar F cdot n:
F = x,i + y,j + z,k = a costheta,i + y,j + a sintheta,k
F cdot n = (a costheta)(costheta) + y(0) + (a sintheta)(sintheta) = a (cos^2theta + sin^2theta) = a
Explicação: Note que o termo com y desaparece porque n não tem componente j.
Passo 6
Agora, precisamos calcular a área diferencial dS da superfície. Para o cilindro lateral, temos:
dS = a , dy , dtheta
Teoria: A área lateral de um cilindro é a altura vezes a circunferência. Aqui, a , dtheta é o elemento de comprimento ao redor do cilindro, e dy é o elemento de altura.
Passo 7
Vamos montar a integral de fluxo usando os resultados anteriores:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral-4^4 a cdot a , dy , dtheta = a^2 integral0^2pi integral-4^4 dy , dtheta