Calcule a integral de superfície dada:
integralegral duplaS x d y d z+y d z d x+z d x d y, onde S é a superfície plana x=u+v, y=u-v, z=1-2 u, tomada no 1^0 octante, e a normal afasta-se da origem.

Passo 1

A integral de superfície dada é\n\n integral duplaS x,dy,dz + y,dz,dx + z,dx,dy\n\nonde S é o trecho do plano parametrizado por\n\n x = u+v, y = u-v, z = 1-2u\n\nno 1º octante, com a normal apontando para fora.\n\nIsso equivale ao cálculo do fluxo do campo vetorial\n\n F(x,y,z) = (x,y,z)\n\natravés de S. Vamos precisar parametrizar S, achar o domínio de (u,v), obter o vetor normal orientado, e integrar Fcdot n,dS.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
r(u,v) = (u+v,;u-v,;1-2u)
com o campo
F(r(u,v)) = (u+v,;u-v,;1-2u)
Então calculamos as derivadas parciais:
ru = (1,1,-2), rv = (1,-1,0)

Passo 3

Para encontrar o domínio D de (u,v), impomos as condições do 1º octante:
x = u+v >= 0, y = u-v >= 0, z = 1-2u >= 0
Dessarte:
u+v >= 0 implies v >= -u,
u-v >= 0 implies v <= u,
1-2u >= 0 implies 0 <= u <= tfrac12
Logo
0<= u<= tfrac12, -u<= v<= u

Passo 4

Calculamos o produto vetorial para o fator de área orientado:
ru times rv = deti&j&k1&1&-21&-1&0 = (-2,-2,-2)
Esse vetor aponta em direção à origem. Como queremos a normal afastando-se da origem, tomamos
n,dS = -,(rutimesrv),du,dv = (2,2,2),du,dv

Passo 5

Agora o fluxo é
$$F\cdot n,dS = (u+v,,u-v,,1-2u)\cdot(2,2,2),du,dv.
$$
Fazendo o produto escalar:
Fcdot n,dS = (u+v,,u-v,,1-2u)cdot(2,2,2),du,dv
portanto
(u+v)+(u-v)+(1-2u) = 1,

Passo 6

Basta agora integrar sobre D:
integral duplaD 2,du,dv = 2integralu=0^1/2integralv=-u^u dv,du = 2integral0^1/2(2u),du = 4integral0^1/2u,du = 4l[tfracu^22r]0^1/2 = 4cdottfrac1/8 = tfrac12

Resposta

\tfrac{1}{2}

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