Calcule a integral de superfície dada:
, onde S é a superfície plana
, tomada no
octante, e a normal afasta-se da origem.
Passo 1
A integral de superfície dada é\n\n
\n\nonde S é o trecho do plano parametrizado por\n\n
\n\nno 1º octante, com a normal apontando para fora.\n\nIsso equivale ao cálculo do fluxo do campo vetorial\n\n
\n\natravés de S. Vamos precisar parametrizar S, achar o domínio de (u,v), obter o vetor normal orientado, e integrar
.
Passo 2
Parametrizamos a superfície por
com o campo
Então calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Para encontrar o domínio D de (u,v), impomos as condições do 1º octante:
Dessarte:
Logo
Passo 4
Calculamos o produto vetorial para o fator de área orientado:
Esse vetor aponta em direção à origem. Como queremos a normal afastando-se da origem, tomamos
Passo 5
Agora o fluxo é
$$F\cdot n,dS = (u+v,,u-v,,1-2u)\cdot(2,2,2),du,dv.
$$
Fazendo o produto escalar:
portanto
Passo 6
Basta agora integrar sobre D:
Resposta
\tfrac{1}{2}