b) Calcular integralgamma F cdot d r em que gamma é um caminho entre (1,-1,1) e (2,1,-1). Dado que F=(2 x z^3+6 y) i+(6 x-2 y z) j+(3 x^2 z^2-y^2) k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de um caminho gamma que vai do ponto (1, -1, 1) até o ponto (2, 1, -1). O campo vetorial é dado por:
F = (2xz^3 + 6y) i + (6x - 2yz) j + (3x^2z^2 - y^2) k
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, saber parametrizar um caminho no espaço tridimensional e como calcular o produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho gamma. Como não foi especificado um caminho particular, vamos escolher o mais simples: uma reta que conecta os dois pontos dados. Isso facilita nossos cálculos.
Vamos definir um parâmetro t que varia de 0 a 1, onde:
  • Quando t = 0, estamos no ponto inicial (1, -1, 1).
  • Quando t = 1, estamos no ponto final (2, 1, -1).
A parametrização da reta fica assim:
r(t) = (1, -1, 1) + t[(2, 1, -1) - (1, -1, 1)] = (1 + t, -1 + 2t, 1 - 2t)
ou seja:
x(t) = 1 + t, y(t) = -1 + 2t, z(t) = 1 - 2t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial dr. Para isso, vamos derivar r(t) em relação a t:
drdt = (dxdt, dydt, dzdt) = (1, 2, -2)
Então, dr = drdt dt = (1, 2, -2) dt.

Passo 4

Vamos agora substituir x(t), y(t) e z(t) na expressão do campo vetorial F:
F(t) = (2(1 + t)(1 - 2t)^3 + 6(-1 + 2t)) i + (6(1 + t) - 2(-1 + 2t)(1 - 2t)) j + (3(1 + t)^2(1 - 2t)^2 - (-1 + 2t)^2) k
Isso vai nos dar F em termos de t, o que é necessário para calcular a integral.

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(t) cdot drdt:
F(t) cdot drdt = (2xz^3 + 6y)(1) + (6x - 2yz)(2) + (3x^2z^2 - y^2)(-2)
Substituindo x(t), y(t) e z(t) nessa expressão, simplificamos a expressão resultante.

Passo 6

Integrar o produto escalar de t = 0 a t = 1:
integral0^1 F(t) cdot drdt , dt
Isso nos dará o valor da integral de linha ao longo do caminho gamma.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral de linha integralgamma F cdot dr é igual a [valor final a ser calculado].

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