b) Calcular
em que
é um caminho entre (1,-1,1) e (2,1,-1). Dado que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de um caminho
que vai do ponto (1, -1, 1) até o ponto (2, 1, -1). O campo vetorial é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, saber parametrizar um caminho no espaço tridimensional e como calcular o produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho
. Como não foi especificado um caminho particular, vamos escolher o mais simples: uma reta que conecta os dois pontos dados. Isso facilita nossos cálculos.
Vamos definir um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde:
- Quando
, estamos no ponto inicial (1, -1, 1). - Quando
, estamos no ponto final (2, 1, -1).
A parametrização da reta fica assim:
ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial
. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
Então,
.
Passo 4
Vamos agora substituir
,
e
na expressão do campo vetorial
:
Isso vai nos dar
em termos de
, o que é necessário para calcular a integral.
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Substituindo
,
e
nessa expressão, simplificamos a expressão resultante.
Passo 6
Integrar o produto escalar de
a
:
Isso nos dará o valor da integral de linha ao longo do caminho
.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral de linha
é igual a [valor final a ser calculado].