Sabe-se que o campo F=(e^x+y+1) i+e^x+y j é um campo conservativo em R^2.
Calcule integralC F cdot d r onde C é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-12)^2=14, com x >= 1 que vai de (1,0) a (1,1).

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r sabendo que vec F=(e^x+y+1), i+e^x+y, j é conservativo e C vai de (1,0) a (1,1). O conteúdo envolvido é o cálculo de funções potenciais e o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos.

Passo 2

Como vec F é conservativo, existe uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=vec F. Vamos achá-la. Integramos em x:
partialphipartial x=e^x+y+1 \
phi(x,y)=integral(e^x+y+1),dx=e^x+y+x+h(y) \
Depois comparamos com
partialphipartial y=e^x+y+h'(y) \
que deve ser igual a e^x+y. Logo h'(y)=0, isto é, h(y) é constante. Tomando a constante zero, obtemos
phi(x,y)=e^x+y+x

Passo 3

Pelo teorema fundamental para campos conservativos temos
integralCvec Fcdot dvec r=phi(1,1)-phi(1,0)

Passo 4

Basta calcular cada valor:
phi(1,1)=e^2+1,
phi(1,0)=e^1+1=e+1,
portanto
integralCvec Fcdot dvec r=(e^2+1)-(e+1)=e^2-e

Resposta

e^{2}-e

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