a) Provar que F=(2 x z^3+6 y) i+(6 x-2 y z) j+(3 x^2 z^2-y^2) k é um campo conservativo, isto é, F provém de um potencial.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que o campo vetorial F = (2x z^3 + 6y) i + (6x - 2y z) j + (3x^2 z^2 - y^2) k é conservativo. Isso faz parte do estudo de Campos Vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, precisamos verificar se o campo satisfaz as condições para ser conservativo, ou seja, se existe uma função potencial cuja derivada é igual a F.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Além disso, uma condição necessária para que um campo seja conservativo é que o seu rotacional seja nulo. O rotacional de F é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Então, vamos calcular cada uma dessas componentes para F.

Passo 3

Calculando a primeira componente do rotacional:
partial Fzpartial y = partialpartial y (3x^2 z^2 - y^2) = -2y
partial Fypartial z = partialpartial z (6x - 2y z) = -2y
Portanto, a primeira componente do rotacional é:
-2y - (-2y) = 0

Passo 4

Calculando a segunda componente do rotacional:
partial Fxpartial z = partialpartial z (2x z^3 + 6y) = 6x z^2
partial Fzpartial x = partialpartial x (3x^2 z^2 - y^2) = 6x z^2
Portanto, a segunda componente do rotacional é:
6x z^2 - 6x z^2 = 0

Passo 5

Calculando a terceira componente do rotacional:
partial Fypartial x = partialpartial x (6x - 2y z) = 6
partial Fxpartial y = partialpartial y (2x z^3 + 6y) = 6
Portanto, a terceira componente do rotacional é:
6 - 6 = 0

Passo 6

Como todas as componentes do rotacional de F são iguais a zero, concluímos que:
nabla times F = 0

Resposta

Portanto, o campo vetorial F é conservativo, ou seja, F provém de um potencial.

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