a) Provar que
é um campo conservativo, isto é,
provém de um potencial.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que o campo vetorial
é conservativo. Isso faz parte do estudo de Campos Vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, precisamos verificar se o campo satisfaz as condições para ser conservativo, ou seja, se existe uma função potencial cuja derivada é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Além disso, uma condição necessária para que um campo seja conservativo é que o seu rotacional seja nulo. O rotacional de
é dado por:
Então, vamos calcular cada uma dessas componentes para
.
Passo 3
Calculando a primeira componente do rotacional:
Portanto, a primeira componente do rotacional é:
Passo 4
Calculando a segunda componente do rotacional:
Portanto, a segunda componente do rotacional é:
Passo 5
Calculando a terceira componente do rotacional:
Portanto, a terceira componente do rotacional é:
Passo 6
Como todas as componentes do rotacional de
são iguais a zero, concluímos que:
Resposta
Portanto, o campo vetorial
é conservativo, ou seja,
provém de um potencial.