(a) Demonstre que
, onde
vai do ponto
até
, é independente do caminho.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha de $6xy^2 - y^3)\, dx e \(6x^2y - 3xy^2)\, dy entre \((1,2)$ e $(3,4)$ é independente do caminho. Estamos no conteúdo de campos vetoriais conservativos (diferencial exata) e precisamos usar a condição de exactitude (domínio simplesmente conexo + derivadas cruzadas iguais).
Passo 2
Vamos chamar \P(x,y) = 6xy^2 - y^3\ e \Q(x,y) = 6x^2y - 3xy^2\ e calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Como \∂P/∂y = ∂Q/∂x\ em todo \ℝ^2\, que é simplesmente conexo, o campo é conservativo. Assim a integral de linha independe do caminho entre os pontos dados.
Resposta
A integral é independente do caminho porque \∂P/∂y = ∂Q/∂x = 12xy - 3y^2\ em todo \ℝ^2\, logo o campo é conservativo.