(a) Demonstre que integralgamma(6 x y^2-y^3) d x+(6 x^2 y-3 x y^2) d y, onde gamma vai do ponto (1,2) até (3,4), é independente do caminho.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha de $6xy^2 - y^3)\, dx e \(6x^2y - 3xy^2)\, dy entre \((1,2)$ e $(3,4)$ é independente do caminho. Estamos no conteúdo de campos vetoriais conservativos (diferencial exata) e precisamos usar a condição de exactitude (domínio simplesmente conexo + derivadas cruzadas iguais).

Passo 2

Vamos chamar \P(x,y) = 6xy^2 - y^3\ e \Q(x,y) = 6x^2y - 3xy^2\ e calcular as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partialpartial y(6xy^2 - y^3) = 12xy - 3y^2
partial Qpartial x = partialpartial x(6x^2y - 3xy^2) = 12xy - 3y^2

Passo 3

Como \∂P/∂y = ∂Q/∂x\ em todo \ℝ^2\, que é simplesmente conexo, o campo é conservativo. Assim a integral de linha independe do caminho entre os pontos dados.

Resposta

A integral é independente do caminho porque \∂P/∂y = ∂Q/∂x = 12xy - 3y^2\ em todo \ℝ^2\, logo o campo é conservativo.

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