Calcular integralW x^2 cos z d V, onde W é a região limitada pelos planos z=0, z=pi, y=0, y=1, x=0 e x+y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla integralW x^2 cos z , dV, onde a região W está limitada pelos planos z=0, z=pi, y=0, y=1, x=0 e x+y=1.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber como definir os limites de integração para cada uma das variáveis x, y e z com base nas restrições da região W, e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os limites de integração para cada variável.
  • Para z: Os limites são dados diretamente pelos planos z=0 e z=pi. Então, z varia de 0 a pi.
  • Para y: Os planos y=0 e y=1 nos dizem que y varia de 0 a 1.
  • Para x: Aqui é um pouco mais interessante. Temos os planos x=0 e x+y=1. Para um valor fixo de y, x vai de 0 até 1 - y.
Então, nossos limites de integração são:
0 <= z <= pi, 0 <= y <= 1, 0 <= x <= 1 - y

Passo 3

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
integralz=0^pi integraly=0^1 integralx=0^1 - y x^2 cos z , dx , dy , dz
Vamos começar integrando em relação a x.

Passo 4

Integramos x^2 em relação a x:
integral0^1 - y x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 - y = (1 - y)^33
Então, agora nossa integral fica:
integral0^pi integral0^1 (1 - y)^33 cos z , dy , dz

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a y. Observe que (1 - y)^33 é uma função de y, mas cos z é constante em relação a y:
integral0^1 (1 - y)^33 , dy = 13 integral0^1 (1 - y)^3 , dy
Para integrar (1 - y)^3, fazemos a substituição u = 1 - y, então du = -dy. Os limites de u vão de 1 a 0, mas pela mudança de sinal, podemos integrar de 0 a 1:
13 integral0^1 u^3 , du = 13 [ u^44 ]0^1 = 13 cdot 14 = 112
Agora, nossa integral simplificada é:
integral0^pi 112 cos z , dz

Passo 6

Por fim, integramos cos z em relação a z:
112 integral0^pi cos z , dz = 112 [ sin z ]0^pi = 112 (sin pi - sin 0) = 112 (0 - 0) = 0

Resposta

A integral tripla integralW x^2 cos z , dV vale 0.

Exercícios relacionados