Calcular , onde é a região limitada pelos planos , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla , onde a região está limitada pelos planos , , , , e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplas em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar: Saber como definir os limites de integração para cada uma das variáveis , e com base nas restrições da região , e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os limites de integração para cada variável.
Para : Os limites são dados diretamente pelos planos e . Então, varia de 0 a .
Para : Os planos e nos dizem que varia de 0 a 1.
Para : Aqui é um pouco mais interessante. Temos os planos e . Para um valor fixo de , vai de 0 até .
Então, nossos limites de integração são:
Passo 3
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
integralz=0^pi integraly=0^1 integralx=0^1 - y x^2 cos z , dx , dy , dz
Vamos começar integrando em relação a x.
Passo 4
Integramos x^2 em relação a x:
integral0^1 - y x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 - y = (1 - y)^33
Então, agora nossa integral fica:
integral0^pi integral0^1 (1 - y)^33 cos z , dy , dz
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a y. Observe que (1 - y)^33 é uma função de y, mas cos z é constante em relação a y:
integral0^1 (1 - y)^33 , dy = 13 integral0^1 (1 - y)^3 , dy
Para integrar (1 - y)^3, fazemos a substituição u = 1 - y, então du = -dy. Os limites de u vão de 1 a 0, mas pela mudança de sinal, podemos integrar de 0 a 1: