Mudar a ordem de integração de
integral0^2 integraly2^1(x+y)^2 d x d y
e calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla mudando a ordem de integração. O que isso significa? Basicamente, vamos trocar a ordem de integração em relação a x e y . Para isso, precisamos entender os limites de integração atuais e redesenhar a região de integração. Vamos usar cálculo integral duplo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites atuais de integração. Temos:
  • y vai de 0 a 2.
  • Para cada valor de y , x vai de y2 a 1.
Vamos desenhar isso no plano xy para visualizar melhor a região de integração.

Passo 3

No plano xy , a linha x = y2 passa pela origem e tem inclinação 12 . O limite superior para x é 1, então a região de integração está limitada por x = y2 , x = 1 , y = 0 e y = 2 .

Passo 4

Agora, para mudar a ordem de integração, precisamos expressar y em termos de x . Observando a linha x = y2 , podemos reescrever como y = 2x . Assim, para um dado x , y vai de 0 a 2x .
Além disso, x varia de 0 a 1, já que o limite superior para x é 1.

Passo 5

Então, a nova ordem de integração será:
  • x vai de 0 a 1.
  • Para cada x , y vai de 0 a 2x .
A integral fica assim:
integral0^1 integral0^2x(x+y)^2 , dy , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a y :
integral0^2x(x+y)^2 , dy
Vamos expandir (x + y)^2 :
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Agora, integramos termo a termo:
integral0^2x x^2 , dy + integral0^2x 2xy , dy + integral0^2x y^2 , dy

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
  1. integral0^2x x^2 , dy = x^2 y |0^2x = x^2 (2x) - x^2 (0) = 2x^3
  2. integral0^2x 2xy , dy = 2x cdot y^22 |0^2x = 2x cdot (2x)^22 = 2x cdot 4x^22 = 4x^3
  3. integral0^2x y^2 , dy = y^33 |0^2x = (2x)^33 - 0 = 8x^33

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
2x^3 + 4x^3 + 8x^33 = (2 + 4 + 83) x^3 = (63 + 123 + 83) x^3 = 263 x^3

Passo 9

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a x :
integral0^1 263 x^3 , dx = 263 cdot x^44 |0^1 = 263 cdot 14 = 2612 = 136

Resposta

O valor da integral é 136 .

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