Beleza, vamos resolver essa integral dupla mudando a ordem de integração. O que isso significa? Basicamente, vamos trocar a ordem de integração em relação a e . Para isso, precisamos entender os limites de integração atuais e redesenhar a região de integração. Vamos usar cálculo integral duplo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais de integração. Temos:
vai de 0 a 2.
Para cada valor de , vai de a 1.
Vamos desenhar isso no plano para visualizar melhor a região de integração.
Passo 3
No plano , a linha passa pela origem e tem inclinação . O limite superior para é 1, então a região de integração está limitada por , , e .
Passo 4
Agora, para mudar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a linha , podemos reescrever como . Assim, para um dado , vai de 0 a .
Além disso, varia de 0 a 1, já que o limite superior para é 1.
Passo 5
Então, a nova ordem de integração será:
vai de 0 a 1.
Para cada , vai de 0 a .
A integral fica assim:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :