Calcule a integral de sobre o conjunto de pontos tais que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral da função sobre um conjunto de pontos que satisfazem as condições e . Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é uma parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como configurar a integral dupla corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Temos duas desigualdades:
Isso significa que está entre e . Vamos esboçar isso para visualizar melhor.
Passo 3
Para esboçar a região, pensemos nos gráficos das funções envolvidas:
é uma linha reta passando pela origem com inclinação .
é a função seno, que oscila entre -1 e 1.
Como estamos lidando com (porque e quando ), vamos considerar apenas o primeiro quadrante.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de onde as duas curvas se intersectam. Isso acontece quando:
Essa equação geralmente não tem uma solução algébrica simples, mas podemos observar que no ponto , ambas as funções são iguais a 0. Além disso, como cresce mais rapidamente que inicialmente, a interseção acontece em , onde e .
Passo 5
Com isso, os limites de integração para vão de 0 a . Para cada valor de nesse intervalo, varia de a .
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :