Calcule a integral de f(x, y)=y sobre o conjunto de pontos (x, y) tais que 0 <= 2 xpi <= y e y <= sin x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral da função f(x, y) = y sobre um conjunto de pontos (x, y) que satisfazem as condições 0 <= 2xpi <= y e y <= sin x . Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é uma parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como configurar a integral dupla corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Temos duas desigualdades:
  1. 0 <= 2xpi <= y
  2. y <= sin x
Isso significa que y está entre 2xpi e sin x . Vamos esboçar isso para visualizar melhor.

Passo 3

Para esboçar a região, pensemos nos gráficos das funções envolvidas:
  • y = 2xpi é uma linha reta passando pela origem com inclinação 2pi .
  • y = sin x é a função seno, que oscila entre -1 e 1.
Como estamos lidando com y >= 0 (porque y >= 2xpi e 2xpi >= 0 quando x >= 0 ), vamos considerar apenas o primeiro quadrante.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de x onde as duas curvas se intersectam. Isso acontece quando:
2xpi = sin x
Essa equação geralmente não tem uma solução algébrica simples, mas podemos observar que no ponto x = 0 , ambas as funções são iguais a 0. Além disso, como sin x cresce mais rapidamente que 2xpi inicialmente, a interseção acontece em x = pi/2 , onde sin(pi/2) = 1 e 2(pi/2)pi = 1 .

Passo 5

Com isso, os limites de integração para x vão de 0 a pi/2 . Para cada valor de x nesse intervalo, y varia de 2xpi a sin x .
Então, nossa integral dupla fica:
integral0^pi2 integral2xpi^sin x y , dy , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a y :
integral2xpi^sin x y , dy = [ y^22 ]2xpi^sin x = (sin x)^22 - ( 2xpi )^22
Agora, substituímos isso na integral externa:
integral0^pi2 ( (sin x)^22 - ( 2xpi )^22 ) dx = 12 integral0^pi2 (sin^2 x - ( 2xpi )^2 ) dx
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Integral de sin^2 x :
integral sin^2 x , dx = x2 - sin(2x)4
  1. Integral de ( 2xpi )^2 :
integral ( 2xpi )^2 dx = 4pi^2 integral x^2 dx = 4pi^2 cdot x^33 = 4x^33pi^2
Substituindo de volta:
12 [ ( x2 - sin(2x)4 ) - ( 4x^33pi^2 ) ] g|0^pi2
Calculando nos limites:
Para x = pi2 :
12 ( pi22 - sin(pi)4 - 4(pi2)^33pi^2 ) = 12 ( pi4 - 0 - pi^3/23pi^2 ) = 12 ( pi4 - pi6 ) = 12 cdot pi12 = pi24
Para x = 0 :
Tudo é zero.

Resposta

A integral vale pi24 .

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