Calcular L3^t mu^2(t-2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de 3^t mu^2(t-2). Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace e funções de degrau (também conhecidas como funções unitárias). Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as propriedades das transformadas de Laplace em funções exponenciais e funções de degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão mu^2(t-2). Sabemos que a função de degrau mu(t) elevada ao quadrado continua sendo a própria função, ou seja, mu^2(t-2) = mu(t-2). Assim, a expressão original fica:
3^t mu(t-2)

Passo 3

Agora, vamos utilizar uma propriedade importante da transformada de Laplace para funções retardadas. A propriedade diz que:
Lf(t - a) mu(t - a) = e^-a s F(s)
onde F(s) é a transformada de Laplace da função f(t) sem o deslocamento.

Passo 4

No nosso caso, a função f(t) é 3^t. Vamos encontrar a transformada de Laplace de 3^t. Sabemos que:
La^t = 1s - ln a, para s > ln a
Aqui, a = 3, então:
L3^t = 1s - ln 3

Passo 5

Aplicando a propriedade da função retardada que mencionamos no Passo 3, temos:
L3^t mu(t - 2) = e^-2 s cdot 1s - ln 3

Resposta

L3^t mu^2(t-2) = e^-2 ss - ln 3

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