Calcular Lt pi^-2 t cos t cdot sen t cdot mu(t-4)

Passo 1

Vamos resolver o problema de calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) = t \pi^{-2t} \cos t \cdot \sin t \cdot \mu(t-4) $. Neste exercício, trabalharemos com a matéria de Transformada de Laplace, especificamente utilizando propriedades como a transformação de funções escalonadas e a combinação de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \cos t \cdot \sin t $. Usando a identidade trigonométrica:
cos t cdot sin t
Portanto, a função fica:
cos t cdot sin t = 12 sin 2t

Passo 3

Agora, vamos reescrever $ \pi^{-2t} $ utilizando a propriedade das potências:
pi^-2t
Substituindo na função:
pi^-2t = e^-2t ln pi

Passo 4

Simplificando os termos constantes:
f(t) = t2 cdot e^-2t ln pi sin 2t cdot mu(t-4)

Passo 5

Agora, aplicamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas pela função de Heaviside $ \mu(t-a) $:
mu(t-a)
onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t+a) $.
No nosso caso, $ a = 4 $ e $ f(t) = \frac{t}{2} e^{-2t \ln \pi} \sin 2t $.

Passo 6

Antes de aplicar a propriedade, precisamos encontrar a transformada de Laplace de $ f(t) = \frac{t}{2} e^{-2t \ln \pi} \sin 2t $.
A transformada de Laplace de $ t e^{-\alpha t} \sin \beta t $ é:
f(t) = t2 e^-2t ln pi sin 2t
No nosso caso, $ \alpha = 2 \ln \pi $ e $ \beta = 2 $.
Então, substituindo:
t e^-alpha t sin beta t

Passo 7

Agora, aplicando a propriedade da função de Heaviside:
Lf(t) mu(t-4) = e^-4s F(s)
Substituindo $ F(s) $:
F(s)

Resposta

A transformada de Laplace da função dada é:
Lt pi^-2 t cos t cdot sin t cdot mu(t-4) = e^-4s cdot 4 (s + 2 ln pi)[(s + 2 ln pi)^2 + 4]^2

Exercícios relacionados