Calcular
Passo 1
Vamos resolver o problema de calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) = t \pi^{-2t} \cos t \cdot \sin t \cdot \mu(t-4) $. Neste exercício, trabalharemos com a matéria de Transformada de Laplace, especificamente utilizando propriedades como a transformação de funções escalonadas e a combinação de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \cos t \cdot \sin t $. Usando a identidade trigonométrica:
Portanto, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever $ \pi^{-2t} $ utilizando a propriedade das potências:
Substituindo na função:
Passo 4
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Agora, aplicamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas pela função de Heaviside $ \mu(t-a) $:
onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t+a) $.
No nosso caso, $ a = 4 $ e $ f(t) = \frac{t}{2} e^{-2t \ln \pi} \sin 2t $.
Passo 6
Antes de aplicar a propriedade, precisamos encontrar a transformada de Laplace de $ f(t) = \frac{t}{2} e^{-2t \ln \pi} \sin 2t $.
A transformada de Laplace de $ t e^{-\alpha t} \sin \beta t $ é:
No nosso caso, $ \alpha = 2 \ln \pi $ e $ \beta = 2 $.
Então, substituindo:
Passo 7
Agora, aplicando a propriedade da função de Heaviside:
Substituindo $ F(s) $:
Resposta
A transformada de Laplace da função dada é: