Calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Transformada de Laplace! A questão pede para calcular a transformada de Laplace de $ 3^{t} \mathrm{u}(t-2) $. A matéria aqui é sobre Transformadas de Laplace, que ajudam a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar entender como a função degrau unitário $ \mathrm{u}(t-a) $ afeta a transformada e como aplicar a propriedade de deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função $ \mathrm{u}(t-2) $ é um degrau unitário que “liga” a função a partir do tempo $ t = 2 $. Isso significa que para $ t < 2 $, a função $ 3^{t} \mathrm{u}(t-2) $ é zero, e para $ t \geq 2 $, ela é igual a $ 3^{t} $.
Passo 3
A Transformada de Laplace de uma função multiplicada por um degrau unitário $ \mathrm{u}(t-a) $ pode ser calculada usando a propriedade de deslocamento no tempo. A fórmula é:
onde $ F(s) $ é a Transformada de Laplace de $ f(t+a) $.
Passo 4
No nosso caso, $ f(t) = 3^{t} $ e $ a = 2 $. Então, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de $ 3^{t} $. Sabemos que:
mas, para simplificar, lembramos que $ 3^{t} = e^{t \ln(3)} $, então:
onde $ k = \ln(3) $. Portanto,
Passo 5
Agora, aplicando a propriedade de deslocamento no tempo, temos:
Resposta
A Transformada de Laplace de $ 3^{t} \mathrm{u}(t-2) $ é: