Calcule
onde
, e a curva
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é dada por:
com
.
Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e como calcular integrais de linha usando derivadas parametrizadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a parametrização da curva
:
Isso significa que para cada valor de
entre 1 e 2, temos um ponto na curva
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
, que é a taxa de variação da posição em relação a
:
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 4
Agora, vamos substituir as componentes de
na função
para obter
:
Vamos substituir
,
e
:
Simplificando, lembrando que
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Essa expressão pode parecer complicada, mas basicamente estamos multiplicando componente a componente e somando os resultados.
Passo 6
Finalmente, vamos integrar o resultado do produto escalar de
até
:
Esse é o valor da integral de linha que queremos calcular. Dependendo da complexidade da expressão, pode ser necessário usar métodos numéricos ou simplificações adicionais para encontrar o valor exato ou aproximado.
Resposta
A integral de linha
avaliada ao longo da curva
de
a
é igual a:
Após calcular essa integral, obtemos o valor final da integral de linha.