Determine a integral
, onde S é a parte do paraboloide
que está abaixo do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
, onde
é a parte do paraboloide
que está abaixo do plano
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais de superfície, e vamos precisar usar parametrização de superfícies e cálculo de integrais em coordenadas polares para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. O paraboloide
intersecta o plano
quando
. Isso significa que a projeção da superfície
no plano
é um círculo de raio 3.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Uma maneira eficiente de fazer isso é usar coordenadas polares, já que a região de integração é circular. Assim, definimos:
onde
varia de 0 a 3 e
varia de 0 a
.
Passo 4
Para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área
. Para uma superfície dada por
, o elemento de área em coordenadas polares é:
Calculando as derivadas parciais de
:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos
e o elemento de área
na integral original:
Note que a integral em
de
de 0 a
é zero, porque a função
é ímpar e se anula nesse intervalo.
Resposta
A integral
é igual a zero.