Determine a integral integral dupla y d S, onde S é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 que está abaixo do plano z=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla integral dupla y , dS, onde S é a parte do paraboloide z = x^2 + y^2 que está abaixo do plano z = 9. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais de superfície, e vamos precisar usar parametrização de superfícies e cálculo de integrais em coordenadas polares para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. O paraboloide z = x^2 + y^2 intersecta o plano z = 9 quando x^2 + y^2 = 9. Isso significa que a projeção da superfície S no plano xy é um círculo de raio 3.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S. Uma maneira eficiente de fazer isso é usar coordenadas polares, já que a região de integração é circular. Assim, definimos:
x = r cos theta y = r sin theta z = r^2
onde r varia de 0 a 3 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área dS. Para uma superfície dada por z = f(x,y), o elemento de área em coordenadas polares é:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , r , dr , dtheta
Calculando as derivadas parciais de z = r^2:
partial zpartial r = 2r partial zpartial theta = 0
Então,
dS = raiz1 + (2r cos theta)^2 + (2r sin theta)^2 , r , dr , dtheta = raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, substituímos y = r sin theta e o elemento de área dS na integral original:
integral dupla y , dS = integral0^2pi integral0^3 r sin theta cdot raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi sin theta , dtheta integral0^3 r^2 raiz1 + 4r^2 , dr
Note que a integral em theta de sin theta de 0 a 2pi é zero, porque a função sin theta é ímpar e se anula nesse intervalo.

Resposta

A integral integral dupla y , dS é igual a zero.

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