Determine a integral de linha integralC x e^y z d s, onde C é o segmento de reta de (0,0,0) a (6,3,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha, especificamente integralC x e^y z , ds, onde C é o segmento de reta que vai do ponto (0,0,0) até (6,3,2). Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, onde trabalhamos com integrais ao longo de curvas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva C, expressar as variáveis x, y e z em função de um parâmetro, e então calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta C. Como é um segmento de reta, podemos usar uma parametrização linear. Vamos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
r(t) = (6t, 3t, 2t)
Aqui, quando t = 0, estamos no ponto (0,0,0) e quando t = 1, chegamos em (6,3,2).

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento ds. Para isso, encontramos a derivada da parametrização em relação a t:
r,'(t) = ( ddt(6t), ddt(3t), ddt(2t) ) = (6, 3, 2)
O módulo dessa derivada é:
|r,'(t)| = raiz6^2 + 3^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7
Então, ds = |r,'(t)| , dt = 7 , dt.

Passo 4

Agora, substituímos as expressões de x, y, z e ds na integral original:
integralC x e^y z , ds = integral0^1 (6t) cdot e^(3t)(2t) cdot 7 , dt = 42 integral0^1 t e^6t^2 , dt
Aqui, simplificamos x = 6t, y = 3t, z = 2t, então y z = 6t^2, e ds = 7 , dt.

Passo 5

Para resolver a integral integral t e^6t^2 , dt, vamos usar uma substituição. Seja u = 6t^2, então:
du = 12t , dt implies t , dt = du12
Substituindo na integral:
42 integral0^1 t e^6t^2 , dt = 42 cdot 112 integral0^6 e^u , du = 4212 [ e^u ]0^6 = 72 (e^6 - 1)

Resposta

A integral de linha é 72 (e^6 - 1).

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