Determine a integral de linha
, onde
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha, especificamente
, onde
é o segmento de reta que vai do ponto
até
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, onde trabalhamos com integrais ao longo de curvas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
, expressar as variáveis
,
e
em função de um parâmetro, e então calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
. Como é um segmento de reta, podemos usar uma parametrização linear. Vamos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Aqui, quando
, estamos no ponto
e quando
, chegamos em
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento
. Para isso, encontramos a derivada da parametrização em relação a
:
O módulo dessa derivada é:
Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos as expressões de
,
,
e
na integral original:
Aqui, simplificamos
,
,
, então
, e
.
Passo 5
Para resolver a integral
, vamos usar uma substituição. Seja
, então:
Substituindo na integral:
Resposta
A integral de linha é
.