Calcular:
lim x -infty(1+3x)^x4=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a -infty:
limxto-inftyl(1+3xr)^x4
O conteúdo principal aqui é o uso da transformação para a forma exponencial, ou seja, escrever a expressão como
expl(ln(cdot)r) e explorar o limite do logaritmo.

Passo 2

Denotemos
L = limxto-inftyl(1+3xr)^x4
Se existir esse limite e for positivo, podemos escrever
ln L = limxto-inftyx4,lnl(1+3xr)

Passo 3

Para xto-infty, temos tfrac3xto0, então podemos usar a expansão em série de Taylor
lnl(1+3xr) = 3x-12l(3xr)^2+Ol(1x^3r)
Multiplicando por tfracx4:
x4,lnl(1+3xr) =x4l(3x-92x^2+O(x^-3)r) =34-98x+O(x^-2)
Quando xto-infty, o termo -tfrac98x+O(x^-2) tende a zero, logo
ln L = limxto-inftyx4,lnl(1+3xr) =34

Passo 4

Como ln L = tfrac34, segue que
L = e^ln L = e^34

Resposta

limxto-inftyl(1+3xr)^x4 = e^34

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