(1,0 ponto) Um sinal analógico tem largura de banda de 8 kHz . Qual deve ser a taxa de amostragem mínima para evitar o aliasing? Se o sinal for amostrado a 10 kHz , o que acontece com frequências acima de 7 kHz ?

Passo 1

O enunciado diz que temos um sinal analógico cuja largura de banda é de 8 kHz. Precisamos encontrar a taxa de amostragem mínima para evitar aliasing e, depois, analisar o que ocorre com as componentes acima de 7 kHz se usarmos uma taxa de 10 kHz. O conteúdo envolvido é o Teorema de Nyquist–Shannon para amostragem.

Passo 2

O Teorema de Nyquist–Shannon estabelece que, para um sinal de banda limitada cuja maior frequência é fmax, a taxa de amostragem fs deve satisfazer
fs >= 2,fmax
para que não haja sobreposição (aliasing) dos espectros replicados em pm fs, pm2fs,dots.
Aqui temos fmax=8 kHz. Logo, a taxa mínima de amostragem é
fs = 2 times 8 kHz = 16 kHz

Passo 3

Se amostrarmos a fs=10 kHz, que é menor que 16 kHz, haverá aliasing. O espectro do sinal original se replica a cada múltiplo de fs, e essas réplicas sobrepõem a banda base.
Em particular, componentes do sinal com frequência f>fs/2=5 kHz serão “espelhadas” no eixo de frequências. Para uma componente f acima de 7 kHz, a frequência aliasada é
falias = l|,f - fsr|
Por exemplo:
f=7 kHz;Rightarrow;falias=|7 - 10|=3 kHz,
f=8 kHz;Rightarrow;falias=|8 - 10|=2 kHz
Assim, toda componente entre 7 e 8 kHz aparece entre 3 e 2 kHz na amostra.

Resposta

A taxa mínima de amostragem para evitar aliasing é 16 kHz.
Se o sinal for amostrado a 10 kHz, as frequências acima de 7 kHz serão aliasadas e reaparecerão na banda base (por exemplo, 7 kHzto3 kHz e 8 kHzto2 kHz).

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